与えられた関数 $f(x) = 4^x + 4^{-x} + 2^{x+2} + 2^{-x+2} - 3$ について、以下の問いに答える。 (1) $t = 2^x + 2^{-x}$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ で表し、$f(x)$ の最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。 (2) $a > \text{ク}$ を満たす定数 $a$ に対して、方程式 $f(x) = a$ の実数解の個数を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = 4^x + 4^{-x} + 2^{x+2} + 2^{-x+2} - 3$ について、以下の問いに答える。

(1) $t = 2^x + 2^{-x}$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ で表し、$f(x)$ の最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

(2) $a > \text{ク}$ を満たす定数 $a$ に対して、方程式 $f(x) = a$ の実数解の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$t^2$ を計算する:

$t^2 = (2^x + 2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2(2^x)(2^{-x}) + (2^{-x})^2 = 4^x + 2 + 4^{-x}$

よって、$4^x + 4^{-x} = t^2 - 2$ であるから、$\text{ア} = 2$ である。

$f(x) = 4^x + 4^{-x} + 4 \cdot 2^x + 4 \cdot 2^{-x} - 3 = t^2 - 2 + 4(2^x + 2^{-x}) - 3 = t^2 - 2 + 4t - 3 = t^2 + 4t - 5$

したがって、$\text{イ} = 4, \text{ウ} = 5$ である。

$f(x) = t^2 + 4t - 5 = (t+2)^2 - 9$

したがって、$\text{エ} = 2, \text{オ} = 9$ である。

$f(x)$ は $t = -2$ のとき最小値 $-9$ をとる。

しかし、$t = 2^x + 2^{-x} > 0$ かつ相加相乗平均の関係より、$t \ge 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2$

したがって、$\text{カ} = 2$ である。

$f(x)$ は $t=2$ のとき最小となる。

$t = 2$ を代入すると、$f(x) = (2+2)^2 - 9 = 16 - 9 = 7$

したがって、$\text{キ} = 2, \text{ク} = 7$ である。

$2^x + 2^{-x} = 2$ となるのは $2^x = 1$, つまり $x = 0$ のときである。

したがって、$\text{ケ} = 0$ である。

(2) $t > 2$ のとき、$y = t^2 + 4t - 5$ のグラフと直線 $y = a$ ($a > 7$) の共有点は2個ある。

したがって、$\text{コ} = 2$ である。

$2^x + 2^{-x} = t$ より、$2^{2x} - t \cdot 2^x + 1 = 0$

$2^x = \frac{t \pm \sqrt{t^2 - 4}}{2}$

したがって、$\text{サ} = t^2, \text{シ} = 4, \text{ス} = 2$ である。

$t_0 > 2$ を満たす定数 $t_0$ に対して、$t = t_0$ のとき、$x$ の値は2つ定まる。

したがって、$\text{セ} = 2$ である。

$f(x) = a$ の解は、$t^2+4t-5=a$ より $t = -2 \pm \sqrt{a+9}$

$t = -2 - \sqrt{a+9}$ は $t>2$ を満たさないので、$t = -2+\sqrt{a+9}$ を考える。

$a>7$ ならば $\sqrt{a+9} > 4$ より $-2 + \sqrt{a+9} > 2$. つまり、$t>2$ である。

$t$が１つ決まると、$2^x + 2^{-x} = t$ より $2^x$ の値が2つ決まる。それぞれに対して$x$も決まるので、実数解は２つ決まる.

したがって、求める実数解の個数は 4個である。$\text{ソ} = 4$。

3. 最終的な答え

(1)

ア = 2

イ = 4

ウ = 5

エ = -2

オ = -9

カ = 2

キ = 2

ク = 7

ケ = 0

(2)

コ = 2

サ = t^2

シ = 4

ス = 2

セ = 2

ソ = 4