## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題47の(3)を解きます。与えられた式は $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ です。この式を因数分解します。

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2. 解き方の手順

1. 式を展開する前に、うまく組み合わせることを考えます。定数項の和が等しくなるように組み合わせると、$(x-1)(x-7)$ と $(x-3)(x-5)$ が良い組み合わせであることがわかります。

2. それぞれの組み合わせを展開します。

$(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$

$(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$

3. $x^2 - 8x = A$ と置換します。すると、与えられた式は以下のようになります。

$(A + 7)(A + 15) + 15$

4. この式を展開します。

$A^2 + 22A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120$

5. 展開した式を因数分解します。

$A^2 + 22A + 120 = (A + 10)(A + 12)$

6. $A = x^2 - 8x$ を代入します。

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

7. $(x^2 - 8x + 12)$ の部分がさらに因数分解できるか検討します。

$x^2 - 8x + 12 = (x - 2)(x - 6)$

8. したがって、最終的な因数分解の結果は以下のようになります。

$(x^2 - 8x + 10)(x - 2)(x - 6)$

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3. 最終的な答え

$(x^2 - 8x + 10)(x - 2)(x - 6)$