不等式 $5(x-1) < 2(2x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=6$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

代数学不等式一次不等式最大整数数直線
2025/5/5

1. 問題の内容

不等式 5(x1)<2(2x+a)5(x-1) < 2(2x+a) を満たす最大の整数 xxx=6x=6 であるとき、定数 aa の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式を解きます。
5(x1)<2(2x+a)5(x-1) < 2(2x+a)
5x5<4x+2a5x - 5 < 4x + 2a
5x4x<2a+55x - 4x < 2a + 5
x<2a+5x < 2a + 5
不等式を満たす最大の整数が6であることから、
6<2a+576 < 2a + 5 \le 7
が成り立ちます。
まず、6<2a+56 < 2a + 5 を解きます。
6<2a+56 < 2a + 5
65<2a6 - 5 < 2a
1<2a1 < 2a
12<a\frac{1}{2} < a
次に、2a+572a + 5 \le 7 を解きます。
2a+572a + 5 \le 7
2a752a \le 7 - 5
2a22a \le 2
a1a \le 1
したがって、12<a1\frac{1}{2} < a \le 1

3. 最終的な答え

12<a1\frac{1}{2} < a \le 1

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