関数 $y = f(x) = 2x^2 - 2ax - 3$ の区間 $-5 \le x \le -1$ における最大値を $M(a)$、最小値を $m(a)$ とする。$b = M(a)$ と $b = m(a)$ のグラフを同一平面上に描け。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = 2x^2 - 2ax - 3$ の区間 $-5 \le x \le -1$ における最大値を $M(a)$、最小値を $m(a)$ とする。$b = M(a)$ と $b = m(a)$ のグラフを同一平面上に描け。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$f(x) = 2x^2 - 2ax - 3 = 2(x^2 - ax) - 3 = 2(x - \frac{a}{2})^2 - 2(\frac{a}{2})^2 - 3 = 2(x - \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{2} - 3$

軸は $x = \frac{a}{2}$ である。定義域は $-5 \le x \le -1$ である。

(i) $\frac{a}{2} < -5$ つまり $a < -10$ のとき、

$m(a) = f(-5) = 2(-5)^2 - 2a(-5) - 3 = 50 + 10a - 3 = 10a + 47$

$M(a) = f(-1) = 2(-1)^2 - 2a(-1) - 3 = 2 + 2a - 3 = 2a - 1$

(ii) $-5 \le \frac{a}{2} \le -1$ つまり $-10 \le a \le -2$ のとき、

$m(a) = f(\frac{a}{2}) = -\frac{a^2}{2} - 3$

$M(a)$ は $f(-5)$ または $f(-1)$ である。

$f(-5) - f(-1) = (10a + 47) - (2a - 1) = 8a + 48$

$8a + 48 = 0$ となるのは $a = -6$ のとき。

$-10 \le a \le -6$ のとき、$f(-5) \ge f(-1)$ より $M(a) = f(-5) = 10a + 47$

$-6 < a \le -2$ のとき、$f(-5) < f(-1)$ より $M(a) = f(-1) = 2a - 1$

(iii) $\frac{a}{2} > -1$ つまり $a > -2$ のとき、

$m(a) = f(-1) = 2a - 1$

$M(a) = f(-5) = 10a + 47$

したがって、

$m(a) = \begin{cases}

10a + 47 & (a < -10) \\

-\frac{a^2}{2} - 3 & (-10 \le a \le -2) \\

2a - 1 & (a > -2)

\end{cases}$

$M(a) = \begin{cases}

2a - 1 & (a < -10) \\

10a + 47 & (-10 \le a \le -6) \\

2a - 1 & (-6 < a \le -2) \\

10a + 47 & (a > -2)

\end{cases}$

グラフを描く。

3. 最終的な答え

$b = M(a)$ と $b = m(a)$ のグラフを上記の場合分けに基づいて描画する。

（グラフの描画はテキストでは難しいので、ここまでの式を元にグラフ作成ソフト等を用いて描いてください。）