関数 $y=ax^2$ のグラフ上に点A(-2, 2)と点Bがある。点Bのx座標が4であるとき、以下の問いに答える。 (1) $a$ の値を求めよ。 (2) 点Bの座標を求めよ。 (3) 2点A, Bを通る直線の式を求めよ。 (4) $\triangle OAB$ の面積を求めよ。ただし、座標の1目盛りを1cmとする。

1. 問題の内容

関数 $y=ax^2$ のグラフ上に点A(-2, 2)と点Bがある。点Bのx座標が4であるとき、以下の問いに答える。

(1) $a$ の値を求めよ。

(2) 点Bの座標を求めよ。

(3) 2点A, Bを通る直線の式を求めよ。

(4) $\triangle OAB$ の面積を求めよ。ただし、座標の1目盛りを1cmとする。

2. 解き方の手順

(1) 点A(-2, 2)は関数 $y=ax^2$ 上の点なので、これを代入して $a$ の値を求める。

$2 = a(-2)^2$

$2 = 4a$

$a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(2) 点Bのx座標は4なので、関数 $y=\frac{1}{2}x^2$ に $x=4$ を代入してy座標を求める。

$y = \frac{1}{2}(4)^2$

$y = \frac{1}{2}(16)$

$y = 8$

したがって、点Bの座標は(4, 8)。

(3) 2点A(-2, 2), B(4, 8)を通る直線の式を $y=mx+n$ とする。

傾き $m = \frac{8-2}{4-(-2)} = \frac{6}{6} = 1$

よって、$y=x+n$

A(-2, 2)を通るので、$2 = -2 + n$

$n = 4$

したがって、求める直線の式は $y = x+4$。

(4) $\triangle OAB$ の面積を求める。

直線ABの式は $y = x+4$ なので、y軸との交点(0, 4)をCとすると、OC = 4。

$\triangle OAB$ の面積は、$\triangle OAC$ と $\triangle OBC$ の面積の和で求められる。

$\triangle OAC = \frac{1}{2} \times OC \times |x_A| = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$

$\triangle OBC = \frac{1}{2} \times OC \times x_B = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$

$\triangle OAB = \triangle OAC + \triangle OBC = 4 + 8 = 12$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$

(2) B(4, 8)

(3) $y = x + 4$

(4) $\triangle OAB = 12$ cm$^2$