2次関数 $y = x^2 + 2mx - m + 2$ について、$y$ の値が常に正であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2mx - m + 2$ について、$y$ の値が常に正であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数 $y = x^2 + 2mx - m + 2$ の $y$ の値が常に正であるということは、グラフが常に $x$ 軸より上にあるということです。これは、グラフが $x$ 軸と交わらないことを意味します。つまり、2次方程式 $x^2 + 2mx - m + 2 = 0$ が実数解を持たないということです。

2次方程式が実数解を持たない条件は、判別式 $D$ が負であることです。判別式 $D$ は次のように計算されます。

$D = b^2 - 4ac$

ここで、$a = 1$, $b = 2m$, $c = -m + 2$ なので、判別式 $D$ は次のようになります。

$D = (2m)^2 - 4(1)(-m + 2)$

$D = 4m^2 + 4m - 8$

$D < 0$ となる $m$ の範囲を求めます。

$4m^2 + 4m - 8 < 0$

$m^2 + m - 2 < 0$

$(m + 2)(m - 1) < 0$

この不等式を解くと、$-2 < m < 1$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 < m < 1$