関数 $y = f(x) = -x^2 + (2a + 1)x + 5$ の $-2 \le x \le 3$ における最大値と最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = -x^2 + (2a + 1)x + 5$ の $-2 \le x \le 3$ における最大値と最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 + (2a + 1)x + 5 = -(x^2 - (2a + 1)x) + 5$

$y = -\left(x - \frac{2a + 1}{2}\right)^2 + \left(\frac{2a + 1}{2}\right)^2 + 5$

$y = -\left(x - \frac{2a + 1}{2}\right)^2 + \frac{4a^2 + 4a + 1}{4} + 5$

$y = -\left(x - \frac{2a + 1}{2}\right)^2 + a^2 + a + \frac{1}{4} + 5$

$y = -\left(x - \frac{2a + 1}{2}\right)^2 + a^2 + a + \frac{21}{4}$

軸は $x = \frac{2a+1}{2} = a + \frac{1}{2}$ です。定義域 $-2 \le x \le 3$ に対して、軸の位置によって最大値と最小値が変わるので場合分けします。

1. $a + \frac{1}{2} < -2$ のとき。つまり $a < -\frac{5}{2}$ のとき。

このとき、軸は定義域の左外にあるので、$x = -2$ で最大値、 $x = 3$ で最小値をとります。

最大値: $f(-2) = -(-2)^2 + (2a + 1)(-2) + 5 = -4 - 4a - 2 + 5 = -4a - 1$

最小値: $f(3) = -(3)^2 + (2a + 1)(3) + 5 = -9 + 6a + 3 + 5 = 6a - 1$

2. $-2 \le a + \frac{1}{2} \le 3$ のとき。つまり $-\frac{5}{2} \le a \le \frac{5}{2}$ のとき。

このとき、軸は定義域内にあるので、$x = a + \frac{1}{2}$ で最大値をとります。最小値は、軸が定義域の中央に最も近い場合に、$x = -2$ または $x = 3$ のいずれかです。

最大値: $a^2 + a + \frac{21}{4}$

最小値を求めるために、さらに場合分けが必要です。

$x = a + \frac{1}{2}$ が $-2 \le x \le 3$ の範囲の中央である $x = \frac{-2+3}{2} = \frac{1}{2}$ を基準に考えます。

つまり $a + \frac{1}{2} < \frac{1}{2}$ ($a < 0$) のとき、$x = 3$ で最小値、 $a + \frac{1}{2} > \frac{1}{2}$ ($a > 0$) のとき、$x = -2$ で最小値を取ります。

$a=0$のとき、$x=-2,3$で同じ最小値を取ります。

* $-\frac{5}{2} \le a < 0$ のとき、最小値は $f(3) = 6a - 1$

* $0 < a \le \frac{5}{2}$ のとき、最小値は $f(-2) = -4a - 1$

* $a = 0$のとき、最小値は $f(-2)=f(3)=-1$

3. $a + \frac{1}{2} > 3$ のとき。つまり $a > \frac{5}{2}$ のとき。

このとき、軸は定義域の右外にあるので、$x = 3$ で最大値、$x = -2$ で最小値をとります。

最大値: $f(3) = 6a - 1$

最小値: $f(-2) = -4a - 1$

以上をまとめると、

* $a < -\frac{5}{2}$ のとき、最大値は $-4a - 1$, 最小値は $6a - 1$

* $-\frac{5}{2} \le a < 0$ のとき、最大値は $a^2 + a + \frac{21}{4}$, 最小値は $6a - 1$

* $a = 0$ のとき、最大値は $\frac{21}{4}$, 最小値は $-1$

* $0 < a \le \frac{5}{2}$ のとき、最大値は $a^2 + a + \frac{21}{4}$, 最小値は $-4a - 1$

* $a > \frac{5}{2}$ のとき、最大値は $6a - 1$, 最小値は $-4a - 1$

3. 最終的な答え

| a の範囲 | 最大値 | 最小値 |

| ----------------------- | --------------------------- | --------------------------- |

| $a < -\frac{5}{2}$ | $-4a - 1$ | $6a - 1$ |

| $-\frac{5}{2} \le a < 0$ | $a^2 + a + \frac{21}{4}$ | $6a - 1$ |

| $a = 0$ | $\frac{21}{4}$ | $-1$ |

| $0 < a \le \frac{5}{2}$ | $a^2 + a + \frac{21}{4}$ | $-4a - 1$ |

| $a > \frac{5}{2}$ | $6a - 1$ | $-4a - 1$ |