関数 $y = ax^2$ において、xの変域が $-2 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、yの変域が $0 \le y \le 12$ となる。このとき、aの値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2$ において、xの変域が $-2 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、yの変域が $0 \le y \le 12$ となる。このとき、aの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、yの変域が0以上であることから、放物線 $y = ax^2$ は上に開いている、つまり、$a > 0$ であることがわかる。

次に、xの変域 $-2 \le x \le \frac{1}{2}$ において、$x=0$ を含むので、yの最小値は0である。

yの最大値が12となるのは、xが変域の端点である $-2$ または $\frac{1}{2}$ のときである。

$x = -2$ のとき、$y = a(-2)^2 = 4a$

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$y = a(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}a$

yの最大値が12なので、$4a$ と $\frac{1}{4}a$ のどちらかが12に等しい。

$a > 0$ であることを考慮すると、$4a = 12$ となる場合、aの値を求める。

$4a = 12$

$a = \frac{12}{4}$

$a = 3$

3. 最終的な答え

$a = 3$