与えられた式 $(x-3)^2(x+3)^2$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-3)^2(x+3)^2$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$A=x-3$、$B=x+3$ と置くと、与式は $A^2B^2$ となります。これは $(AB)^2$ と書き換えられます。

つまり、

$(x-3)^2(x+3)^2 = [(x-3)(x+3)]^2$

となります。

次に、$(x-3)(x+3)$ を計算します。これは和と差の積の公式 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ を利用できます。

$(x-3)(x+3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$

したがって、

$[(x-3)(x+3)]^2 = (x^2-9)^2$

最後に、$(x^2-9)^2$ を展開します。これは $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の公式を利用できます。

$(x^2-9)^2 = (x^2)^2 - 2(x^2)(9) + 9^2 = x^4 - 18x^2 + 81$

3. 最終的な答え

$x^4 - 18x^2 + 81$