与えられた連立不等式を解く問題です。連立不等式は以下の通りです。 $\begin{cases} 4-3x < 2x+1 \leq x+6 \\ 2\sqrt{(x-3)^2} \geq x-1 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた連立不等式を解く問題です。連立不等式は以下の通りです。

$\begin{cases}

4-3x < 2x+1 \leq x+6 \\

2\sqrt{(x-3)^2} \geq x-1

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、1つ目の不等式 $4-3x < 2x+1 \leq x+6$ を解きます。これは $4-3x < 2x+1$ かつ $2x+1 \leq x+6$ を満たす $x$ を求めることと同じです。

$4-3x < 2x+1$ を解きます。

$4-1 < 2x+3x$

$3 < 5x$

$x > \frac{3}{5}$

$2x+1 \leq x+6$ を解きます。

$2x-x \leq 6-1$

$x \leq 5$

したがって、1つ目の不等式から $\frac{3}{5} < x \leq 5$ が得られます。

次に、2つ目の不等式 $2\sqrt{(x-3)^2} \geq x-1$ を解きます。$\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$ であることに注意すると、

$2|x-3| \geq x-1$

となります。

場合分けをします。

(i) $x \geq 3$ のとき、$|x-3| = x-3$ なので、

$2(x-3) \geq x-1$

$2x-6 \geq x-1$

$2x-x \geq 6-1$

$x \geq 5$

(ii) $x < 3$ のとき、$|x-3| = -(x-3) = 3-x$ なので、

$2(3-x) \geq x-1$

$6-2x \geq x-1$

$6+1 \geq x+2x$

$7 \geq 3x$

$x \leq \frac{7}{3}$

(i), (ii) を合わせると、$x \leq \frac{7}{3}$ または $x \geq 5$ となります。

連立不等式の解は、$\frac{3}{5} < x \leq 5$ と $x \leq \frac{7}{3}$ または $x \geq 5$ の共通範囲です。

$\frac{3}{5} < x \leq \frac{7}{3}$ または $x = 5$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5} < x \leq \frac{7}{3}, x=5$