5個の数字 $1, 2, 3, 4, 5$ を一列に並べて5桁の整数を作るとき、$32000$ 以上の整数は何個できるか。

1. 問題の内容

5個の数字 $1, 2, 3, 4, 5$ を一列に並べて5桁の整数を作るとき、$32000$ 以上の整数は何個できるか。

2. 解き方の手順

5桁の整数が $32000$ 以上となる場合を考える。

* 1万の位が3の場合

千の位が2, 3, 4, 5であれば $32000$ 以上となる。

千の位が2の場合、残りの3つの位は $1, 4, 5$ の並び替えなので、$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

千の位が3, 4, 5の場合、1万の位と千の位で2つの数字が使われているので、残りの3つの位は3つの数字の並び替えなので、$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

したがって、1万の位が3の場合、$6 + 6 \times 3 = 6 + 18 = 24$ 通り。

* 1万の位が4の場合

残りの4つの位は $1, 2, 3, 5$ の並び替えなので、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

* 1万の位が5の場合

残りの4つの位は $1, 2, 3, 4$ の並び替えなので、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

よって、$32000$ 以上の整数は、$24 + 24 + 24 = 72$ 個。

3. 最終的な答え

72個