6個の数字1, 2, 3, 4, 5, 6を1列に並べて6桁の整数を作るとき、350000以下の整数は何個できるかを求める問題です。

1. 問題の内容

6個の数字1, 2, 3, 4, 5, 6を1列に並べて6桁の整数を作るとき、350000以下の整数は何個できるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、6桁の整数が350000以下になるためには、先頭の桁が3以下である必要があります。

先頭の桁が1, 2, 3の場合に分けて考えます。

* 先頭の桁が1または2の場合：

先頭の桁が1または2のとき、残りの5桁は自由に並べることができます。

残りの5桁の並べ方は $5!$ 通りです。

先頭の桁が1または2なので、この場合は $2 \times 5!$ 通りです。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

よって、$2 \times 5! = 2 \times 120 = 240$通りです。

* 先頭の桁が3の場合：

先頭の桁が3のとき、次にくる数字は5以下である必要があります。

次の桁が1, 2, 4の場合、残りの4桁は自由に並べることができます。

残りの4桁の並べ方は $4!$ 通りです。

この場合は、$3 \times 4!$ 通りです。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

よって、$3 \times 4! = 3 \times 24 = 72$通りです。

次の桁が5の場合、

35xxxxとなるのは351246,351264,351426,351462,351624,351642,...

352xxx,354xxx,356xxxは無いので、

35で始まる数は351246,351264,...

350000以下は35の次の数が5以下になるものが対象なので、

35の次に小さい数を入れたとき、残りの数は$4!$より少ない

35の次に1,2,4のどれかを入れた場合のみを考慮する。

これはすでに計算済みなので考える必要はない。

先頭の2桁が35のケースは、350000以下にはなりえません。なぜなら、残りの数字をどのように並べても350000より大きくなってしまうからです。例えば、残りの数字が1, 2, 4, 6のとき、最小の数は351246となり、350000より大きいです。

したがって、条件を満たす整数の個数は、$240 + 72 = 312$個です。

3. 最終的な答え

312個