6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5を使って、同じ数字を2度以上使わないという条件の下で、以下の問いに答えます。 (1) 4桁の整数の個数を求めます。 (2) 4桁の整数で、4の倍数であるものの個数を求めます。

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5を使って、同じ数字を2度以上使わないという条件の下で、以下の問いに答えます。

(1) 4桁の整数の個数を求めます。

(2) 4桁の整数で、4の倍数であるものの個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 4桁の整数の個数を求める

まず、千の位に使える数字は0以外の5通りです。百の位には、千の位で使った数字以外の5通りが使えます。十の位には、千の位と百の位で使った数字以外の4通りが使えます。一の位には、千の位、百の位、十の位で使った数字以外の3通りが使えます。したがって、4桁の整数の個数は、

$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$

(2) 4桁の整数で4の倍数であるものの個数を求める

4の倍数は、下2桁が4の倍数であれば良いです。使える数字は0, 1, 2, 3, 4, 5なので、下2桁が4の倍数になる組み合わせは以下の通りです。

04, 12, 20, 24, 32, 40, 52

これらの組み合わせについて、千の位と百の位の数字の選び方を考えます。

* 04, 20, 40の場合：千の位は残りの4つの数字から選べます(0は除く)。百の位は残りの4つの数字から選べます。

よって、 $3 \times (4 \times 4) = 48$通り

* 12, 24, 32, 52の場合：千の位は残りの4つの数字から選べます(0は除く)。百の位は残りの4つの数字から選べます。

よって、 $4 \times (4 \times 4) = 64$通り

したがって、4桁の整数で4の倍数であるものの個数は、

$48 + 64 = 112$

3. 最終的な答え

(1) 4桁の整数の個数は300個。

(2) 4桁の整数で4の倍数であるものの個数は112個。