0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字を重複せずに使って4桁の整数を作る。 (ア) 作れる整数の総数を求めよ。 (イ) 2000より大きい整数の数を求めよ。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字を重複せずに使って4桁の整数を作る。

(ア) 作れる整数の総数を求めよ。

(イ) 2000より大きい整数の数を求めよ。

2. 解き方の手順

(ア) 4桁の整数を作る問題。

- 千の位は0以外の数字が入る。つまり、1, 2, 3, 4, 5のいずれかであり、5通りの選択肢がある。

- 百の位は、千の位で使った数字以外の5つの数字から選ぶことができるので、5通りの選択肢がある。

- 十の位は、千と百の位で使った数字以外の4つの数字から選ぶことができるので、4通りの選択肢がある。

- 一の位は、千、百、十の位で使った数字以外の3つの数字から選ぶことができるので、3通りの選択肢がある。

したがって、作れる整数の総数は $5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$個である。

(イ) 2000より大きい整数を考える。

- 千の位が2, 3, 4, 5 のいずれかの場合を考える。

- 千の位が2の場合、百の位は0, 1, 3, 4, 5の5通り。十の位は4通り、一の位は3通りなので、$1 \times 5 \times 4 \times 3 = 60$個。

- 千の位が3の場合、百の位は0, 1, 2, 4, 5の5通り。十の位は4通り、一の位は3通りなので、$1 \times 5 \times 4 \times 3 = 60$個。

- 千の位が4の場合、百の位は0, 1, 2, 3, 5の5通り。十の位は4通り、一の位は3通りなので、$1 \times 5 \times 4 \times 3 = 60$個。

- 千の位が5の場合、百の位は0, 1, 2, 3, 4の5通り。十の位は4通り、一の位は3通りなので、$1 \times 5 \times 4 \times 3 = 60$個。

したがって、2000より大きい整数の数は $60+60+60+60=240$個である。

3. 最終的な答え

ア: 300

イ: 240