0, 1, 2, 3, 4 の5つの数字の中から3つを選んで3桁の整数を作る。ただし、同じ数字を2度以上使わないものとする。このとき、123より大きい整数は何個作れるか。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4 の5つの数字の中から3つを選んで3桁の整数を作る。ただし、同じ数字を2度以上使わないものとする。このとき、123より大きい整数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

まず、3桁の整数を作る総数を考える。百の位は0以外の4つの数字から選ぶことができる。十の位は百の位で使った数字以外の4つの数字から選び、一の位は百と十の位で使った数字以外の3つの数字から選ぶ。よって、3桁の整数は $4 \times 4 \times 3 = 48$ 個作れる。

次に、123以下の3桁の整数を数える。

* 百の位が0の場合：これは3桁の整数にならないので除外する。

* 百の位が1の場合：

* 十の位が0の場合：一の位は2, 3, 4 の3つの選択肢がある。よって3個。

* 十の位が2の場合：一の位は0しかないため120。そして123以下である必要があるため、一の位は3より小さい0しかない。よって1個。（123は問題文の条件より除く）

* 百の位が2の場合：十の位が0, 1の場合も200, 210のようなパターンとなる。

* 十の位が0の場合：一の位は1, 3, 4。よって3個。

* 十の位が1の場合：一の位は0, 3, 4。よって3個。

* 百の位が3の場合：

* 十の位が0の場合：一の位は1, 2, 4。よって3個

* 十の位が1の場合：一の位は0, 2, 4。よって3個

* 十の位が2の場合：一の位は0, 1, 4。よって3個

* 十の位が4の場合：一の位は0, 1, 2。よって3個

* 百の位が4の場合：

* 十の位が0の場合：一の位は1, 2, 3。よって3個

* 十の位が1の場合：一の位は0, 2, 3。よって3個

* 十の位が2の場合：一の位は0, 1, 3。よって3個

* 十の位が3の場合：一の位は0, 1, 2。よって3個

123以下の場合は、102, 103, 104, 120, 201, 203, 204, 210, 213, 214, 301, 302, 304, 310, 312, 314, 320, 321, 324, 340, 341, 342となる。また、条件より123は除く。

123よりも小さい整数は $3 + 1 = 4$ 個。

よって、123より大きい3桁の整数は、すべての3桁の整数から123以下の整数を引くことで求められる。

$48 - (3+1) = 48 - 4 = 44$

3. 最終的な答え

44個