0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から4個を選んで並べ、4桁の整数を作る。このとき、1234より大きい整数は何個できるか。ただし、同じ数字は2度以上使わない。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から4個を選んで並べ、4桁の整数を作る。このとき、1234より大きい整数は何個できるか。ただし、同じ数字は2度以上使わない。

2. 解き方の手順

まず、4桁の整数全体の個数を求める。千の位は0以外の5通り、百の位は残りの5通り、十の位は4通り、一の位は3通りなので、

$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$ 個。

次に、1234より小さい整数を求める。

(1) 千の位が0の場合：

百の位は1, 2, 3, 4, 5のいずれでもよい。

百の位が1の場合、残りの十の位は4通り、一の位は3通り。 $1 \times 4 \times 3 = 12$個

百の位が2, 3, 4, 5の場合、残りの十の位は4通り、一の位は3通り。 $4 \times 4 \times 3 = 48$個

したがって、千の位が0の場合は $12+48 = 60$個

(2) 千の位が1の場合：

百の位が0の場合、残りの十の位は4通り、一の位は3通り。 $1 \times 1 \times 4 \times 3 = 12$個

百の位が2の場合、

十の位が0の場合、残りの一の位は3通り。 $1 \times 1 \times 1 \times 3 = 3$個

十の位が3の場合、一の位が

0. $1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$個

百の位が2の場合、

十の位が3よりも小さければ良い。0のみ。

一の位が 3よりも小さい数から選ぶ。つまり0。

120x, 1230

十の位が2の場合:

数字の選択肢からするとありえない。

千の位が1の場合の合計: $12+3 + 1 = 16$ 個.

(3) 1234より小さい整数を数え上げる。

10xx -> $4 \times 3 = 12$

120x -> $3$

1230

1234 ではない。

1234そのものは、

数字の並べ方なので、考えない。

10xy: $1 \times 1 \times 4 \times 3 = 12$個

120x: $1 \times 1 \times 1 \times 3 = 3$個

1230: $1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$個

1234より小さい整数の合計 $12+3+1 = 16$個

1243,1253などがあるので、もっとある.

1234より小さい整数:

1から始まる整数で、1234より小さいもの

1から始まる整数全体: $1\times 5\times 4\times 3 = 60$

10xx: $4 \times 3 = 12$ 個

120x: 0は確定なので、3,4,5の3個

1230

1234 より小さいものは合計 $12+3+1 = 16$個

2から始まる整数

$2 \times 5 \times 4 \times 3 = 120$

3から始まる整数：$1\times 5\times 4 \times 3 = 60$個

4から始まる整数：$1\times 5\times 4 \times 3 = 60$個

5から始まる整数：$1\times 5\times 4 \times 3 = 60$個

1234より大きいものは

全体の数から1234以下を引く。

$300 - (16+1)=300-17 = 283$

全体の個数から1234より小さいものを引く。ただし1234そのものは引かない。

千の位が1の場合：

10xx -> 4 * 3 = 12

120x -> 3

1230

1234より小さいもの：12+3+1=16

千の位が2,3,4,5の場合、それぞれ 5 * 4 * 3 = 60

$60 \times 4 = 240$

1234より大きいのは$300-16-1=283$

$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$

1234以下: 16 + 1 = 17

300 - 17 = 283

3. 最終的な答え

283個