0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から4個を選び、それらを並べて4桁の整数を作ります。同じ数字を2度以上使わないという条件のもとで、1234よりも大きい整数は何個できるかを求める問題です。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から4個を選び、それらを並べて4桁の整数を作ります。同じ数字を2度以上使わないという条件のもとで、1234よりも大きい整数は何個できるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、作ることができる4桁の整数の総数を計算します。千の位は0以外の5通り、百の位は千の位で使った数字以外の5通り、十の位は千と百の位で使った数字以外の4通り、一の位は千、百、十の位で使った数字以外の3通りあります。したがって、作れる4桁の整数の総数は $5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$ 個です。

次に、1234以下の整数を数えます。

* 千の位が0の場合： $5 \times 4 \times 3 = 60$ 個

* 千の位が1の場合：

* 百の位が0の場合： $4 \times 3 = 12$ 個

* 百の位が2の場合：

* 十の位が0の場合： $3$ 個

* 十の位が3の場合：

* 一の位が0の場合：1230より大きいからこれは条件を満たさない

* 一の位が4の場合：1234

* 十の位が4の場合： $3$ 個

* 十の位が5の場合： $3$ 個

ここで、1234となる場合を考慮すると、千の位が1、百の位が2の場合で、十の位が3の時、一の位が0, 1, 2, 3, 4, 5の中で4しかありません。

* 10XXの形: 1032, 1034, 1035, 1042, 1043, 1045, 1052, 1053, 1054

10XX = 5P2 = 5*4 = 20

* 120Xの形: 1203, 1204, 1205

* 1230

* 1234

* 1240, 1243, 1245

* 1250, 1253, 1254

千の位が1の時の、百の位が0である場合、$4 \times 3 = 12$ 個です。

千の位が1、百の位が2の場合、120X, 1230, 1234, 124X, 125Xの形があります。

* 120Xの形は $3$ 個

* 1230の形は $1$ 個

* 1234の形は $1$ 個

* 124Xの形は $3$ 個

* 125Xの形は $3$ 個

合計11個

千の位が2の場合、1234より大きいです。

合計: 60 + 12 + 3 + 1 + 3 + 3 = 82 となるわけではありません。

千の位が1の場合: 10 _ _: 5 * 4 = 20

千の位が1の場合で1234より小さい数を考える。

120_: 3個

1230

12__: 0, 3, 4, 5から選ぶので、1203, 1204, 1205, 1230, 1240, 1243, 1245, 1250, 1253, 1254。10個。

20 + 10 = 30

千の位が1の時は30。

千の位が2,3,4,5の時は、総数は5*5*4*3=300-60(0スタート)= 240個

全パターン数は $5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$ 通り

1234以下を考える

1235,1243,1245,1253,1254

1の時に1,2,3,4が入るとしたら、12個。1234が含まれるので1230

10は5*4 20

300 - X = 300 - 82 = 218

1234より大きいものの個数は、全パターンから1234以下を引けば求まる。

全パターン = $5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$

1234より小さいのは

千の位が0 60

千の位が1

10XX 10\*4 = 20

120_ 3

1230 1

1234より小さい 84

3. 最終的な答え

$300 - 84 = 216$

216個