6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5から異なる5個の数字を並べて5桁の数を作る。 (ア) 作れる整数の総数を求める。 (イ) 条件「最高位の数字、一の位の数字の少なくとも一方が偶数である」を満たす整数の集合をAとする。このとき、Aの補集合である$\overline{A}$の要素の個数を求める。 (ウ) Aの要素の個数を求める。

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5から異なる5個の数字を並べて5桁の数を作る。

(ア) 作れる整数の総数を求める。

(イ) 条件「最高位の数字、一の位の数字の少なくとも一方が偶数である」を満たす整数の集合をAとする。このとき、Aの補集合である$\overline{A}$の要素の個数を求める。

(ウ) Aの要素の個数を求める。

2. 解き方の手順

(ア) 5桁の整数を作るので、最高位には0以外の数字が入る。

最高位の選び方は5通り。

残りの4桁は、残りの5個の数字から4個を選んで並べるので、$5P4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$通り。

よって、作れる整数の総数は、$5 \times 120 = 600$個。

(イ) $\overline{A}$は「最高位の数字、一の位の数字がともに奇数である」を満たす整数の集合である。

奇数は1, 3, 5の3個ある。

最高位は奇数なので3通り。

一の位は最高位で使った奇数以外の奇数を使うので2通り。

残りの3桁は、残りの4個の数字から3個を選んで並べるので、$4P3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$通り。

よって、$\overline{A}$の要素の個数は、$3 \times 2 \times 24 = 144$個。

(ウ) Aの要素の個数は、全体の個数から$\overline{A}$の要素の個数を引けば良い。

$600 - 144 = 456$個。

3. 最終的な答え

(ア) 600

(イ) 144

(ウ) 456