0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字を重複させずに使って4桁の整数を作るとき、以下の問いに答える。 (ア) 整数は全部で何個作れるか。 (イ) 「最高位の数と一の位の数の少なくとも一方が奇数である」という条件を満たす整数の集合をAとするとき、Aの補集合の要素の個数はいくつか。 (ウ) 上記の条件を満たす整数の個数はいくつか。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字を重複させずに使って4桁の整数を作るとき、以下の問いに答える。

(ア) 整数は全部で何個作れるか。

(イ) 「最高位の数と一の位の数の少なくとも一方が奇数である」という条件を満たす整数の集合をAとするとき、Aの補集合の要素の個数はいくつか。

(ウ) 上記の条件を満たす整数の個数はいくつか。

2. 解き方の手順

(ア) 4桁の整数の作り方

まず、千の位に使える数字は0以外の5通り。

次に、百の位に使える数字は、千の位で使った数字と0以外の残り5通り。

次に、十の位に使える数字は、千の位と百の位で使った数字以外の残り4通り。

最後に、一の位に使える数字は、千の位、百の位、十の位で使った数字以外の残り3通り。

したがって、作れる整数の総数は $5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$ 個である。

(イ) Aの補集合の要素の個数

Aの補集合は、「最高位の数と一の位の数が共に偶数である」整数の集合である。

最高位の数は0以外の偶数なので、2, 4の2通り。

一の位に使える数は、最高位で使った数以外の偶数と0なので2通り。

百の位に使える数は、最高位と一の位で使った数以外の残り4通り。

十の位に使える数は、最高位、一の位、百の位で使った数以外の残り3通り。

したがって、Aの補集合の要素の個数は $2 \times 2 \times 4 \times 3 = 48$ 個である。

(ウ) 条件を満たす整数の個数

全体の個数からAの補集合の要素の個数を引けばよい。

したがって、条件を満たす整数の個数は $300 - 48 = 252$ 個である。

3. 最終的な答え

ア: 300

イ: 48

ウ: 252