6人を3つのグループに分ける方法は何通りあるかを求める問題です。ただし、グループの人数は指定されていません。

1. 問題の内容

6人を3つのグループに分ける方法は何通りあるかを求める問題です。ただし、グループの人数は指定されていません。

2. 解き方の手順

グループ分けの方法は、グループの人数構成によって異なります。考えられる人数構成は以下の通りです。

* (1, 1, 4)のとき

* (1, 2, 3)のとき

* (2, 2, 2)のとき

それぞれの人数構成について、グループ分けの方法の数を計算します。

* (1, 1, 4)の場合:

まず、6人から4人を選ぶ方法は $_6C_4$ 通りです。残りの2人から1人を選ぶ方法は $_2C_1$ 通り、残りの1人を選ぶ方法は $_1C_1$ 通りです。ただし、1人のグループは区別しないので、$_2C_1 \times _1C_1$ を 2! で割る必要があります。よって、

$\frac{_6C_4 \times _2C_1 \times _1C_1}{2!} = \frac{15 \times 2 \times 1}{2} = 15$通り

* (1, 2, 3)の場合:

まず、6人から3人を選ぶ方法は $_6C_3$ 通りです。残りの3人から2人を選ぶ方法は $_3C_2$ 通り、残りの1人を選ぶ方法は $_1C_1$ 通りです。よって、

$_6C_3 \times _3C_2 \times _1C_1 = 20 \times 3 \times 1 = 60$通り

* (2, 2, 2)の場合:

まず、6人から2人を選ぶ方法は $_6C_2$ 通りです。残りの4人から2人を選ぶ方法は $_4C_2$ 通り、残りの2人を選ぶ方法は $_2C_2$ 通りです。ただし、2人のグループは区別しないので、$_6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2$ を 3! で割る必要があります。よって、

$\frac{_6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2}{3!} = \frac{15 \times 6 \times 1}{6} = 15$通り

したがって、これらの場合を合計すると、

$15 + 60 + 15 = 90$通り

3. 最終的な答え

90 通り