次の和Sを求めよ。 (1) 1から80までの自然数の和 (2) 1から101までの奇数の和 (3) 1+2+3+...+50 (4) 1+3+5+...+85 (5) 2+4+6+...+60 (6) 3+6+9+...+270

1. 問題の内容

次の和Sを求めよ。

(1) 1から80までの自然数の和

(2) 1から101までの奇数の和

(3) 1+2+3+...+50

(4) 1+3+5+...+85

(5) 2+4+6+...+60

(6) 3+6+9+...+270

2. 解き方の手順

(1) 1から80までの自然数の和は、等差数列の和の公式を使う。初項$a=1$, 末項$l=80$, 項数$n=80$である。

$S_n = \frac{n(a+l)}{2}$

$S_{80} = \frac{80(1+80)}{2} = \frac{80 \cdot 81}{2} = 40 \cdot 81 = 3240$

(2) 1から101までの奇数の和は、等差数列の和の公式を使う。初項$a=1$, 末項$l=101$である。奇数の項数を求める。

$a_n = a + (n-1)d$

$101 = 1 + (n-1)2$

$100 = (n-1)2$

$50 = n-1$

$n = 51$

$S_n = \frac{n(a+l)}{2}$

$S_{51} = \frac{51(1+101)}{2} = \frac{51 \cdot 102}{2} = 51 \cdot 51 = 2601$

(3) 1+2+3+...+50 は、等差数列の和の公式を使う。初項$a=1$, 末項$l=50$, 項数$n=50$である。

$S_n = \frac{n(a+l)}{2}$

$S_{50} = \frac{50(1+50)}{2} = \frac{50 \cdot 51}{2} = 25 \cdot 51 = 1275$

(4) 1+3+5+...+85 は、等差数列の和の公式を使う。初項$a=1$, 末項$l=85$である。奇数の項数を求める。

$a_n = a + (n-1)d$

$85 = 1 + (n-1)2$

$84 = (n-1)2$

$42 = n-1$

$n = 43$

$S_n = \frac{n(a+l)}{2}$

$S_{43} = \frac{43(1+85)}{2} = \frac{43 \cdot 86}{2} = 43 \cdot 43 = 1849$

(5) 2+4+6+...+60 は、等差数列の和の公式を使う。初項$a=2$, 末項$l=60$である。項数を求める。

$a_n = a + (n-1)d$

$60 = 2 + (n-1)2$

$58 = (n-1)2$

$29 = n-1$

$n = 30$

$S_n = \frac{n(a+l)}{2}$

$S_{30} = \frac{30(2+60)}{2} = \frac{30 \cdot 62}{2} = 15 \cdot 62 = 930$

(6) 3+6+9+...+270 は、等差数列の和の公式を使う。初項$a=3$, 末項$l=270$である。項数を求める。

$a_n = a + (n-1)d$

$270 = 3 + (n-1)3$

$267 = (n-1)3$

$89 = n-1$

$n = 90$

$S_n = \frac{n(a+l)}{2}$

$S_{90} = \frac{90(3+270)}{2} = \frac{90 \cdot 273}{2} = 45 \cdot 273 = 12285$

3. 最終的な答え

(1) 3240

(2) 2601

(3) 1275

(4) 1849

(5) 930

(6) 12285