問題は2つあります。 (1) 一般項 $a_n = 3n - 4$ で表される数列 $\{a_n\}$ が等差数列であることを証明してください。 (2) 等差数列 $12, 15, 18, \dots, 99$ の和 $S$ を求めてください。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 一般項 $a_n = 3n - 4$ で表される数列 $\{a_n\}$ が等差数列であることを証明してください。

(2) 等差数列 $12, 15, 18, \dots, 99$ の和 $S$ を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ が等差数列であることを示すには、$a_{n+1} - a_n$ が定数であることを示せばよいです。

$a_{n+1} = 3(n+1) - 4 = 3n + 3 - 4 = 3n - 1$

$a_{n+1} - a_n = (3n - 1) - (3n - 4) = 3n - 1 - 3n + 4 = 3$

$a_{n+1} - a_n = 3$ は定数なので、数列 $\{a_n\}$ は等差数列です。

(2) 等差数列の和を求めるには、初項、末項、項数が必要です。

初項 $a_1 = 12$

末項 $a_n = 99$

公差 $d = 15 - 12 = 3$

$a_n = a_1 + (n-1)d$ より、$99 = 12 + (n-1)3$

$99 = 12 + 3n - 3$

$99 = 9 + 3n$

$90 = 3n$

$n = 30$

項数は30です。

等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ より、

$S = \frac{30(12 + 99)}{2} = \frac{30 \times 111}{2} = 15 \times 111 = 1665$

3. 最終的な答え

(1) 数列 $\{a_n\}$ は等差数列である。（証明終わり）

(2) $S = 1665$