加法定理を用いて、$\sin 195^\circ$, $\cos 195^\circ$, $\tan 195^\circ$の値を求めよ。

1. 問題の内容

加法定理を用いて、$\sin 195^\circ$, $\cos 195^\circ$, $\tan 195^\circ$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$195^\circ = 150^\circ + 45^\circ$と分解して、加法定理を用いる。

(1) $\sin 195^\circ$ の計算

$\sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ を用いる。

$\sin 195^\circ = \sin (150^\circ + 45^\circ) = \sin 150^\circ \cos 45^\circ + \cos 150^\circ \sin 45^\circ$

$\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$\sin 195^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(2) $\cos 195^\circ$ の計算

$\cos (A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ を用いる。

$\cos 195^\circ = \cos (150^\circ + 45^\circ) = \cos 150^\circ \cos 45^\circ - \sin 150^\circ \sin 45^\circ$

$\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$\cos 195^\circ = (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{-\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(3) $\tan 195^\circ$ の計算

$\tan 195^\circ = \frac{\sin 195^\circ}{\cos 195^\circ}$ を用いる。

$\tan 195^\circ = \frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}}{-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{-(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

分母の有理化を行う。

$\tan 195^\circ = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{6 - 2} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sin 195^\circ = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

$\cos 195^\circ = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\tan 195^\circ = 2 - \sqrt{3}$