不等式 $a(x+1) > x + a^2$ を解く問題です。ただし、$a$ は定数です。

1. 問題の内容

不等式 $a(x+1) > x + a^2$ を解く問題です。ただし、$a$ は定数です。

2. 解き方の手順

まず、不等式を展開して $x$ について整理します。

$a(x+1) > x + a^2$

$ax + a > x + a^2$

$ax - x > a^2 - a$

$(a - 1)x > a^2 - a$

$(a - 1)x > a(a - 1)$

ここで、$a$ の値によって場合分けが必要です。

(i) $a - 1 > 0$、つまり $a > 1$ のとき

不等式の両辺を $a - 1$ で割ると、$a - 1$ は正の数なので不等号の向きは変わりません。

$x > \frac{a(a - 1)}{a - 1}$

$x > a$

(ii) $a - 1 < 0$、つまり $a < 1$ のとき

不等式の両辺を $a - 1$ で割ると、$a - 1$ は負の数なので不等号の向きが変わります。

$x < \frac{a(a - 1)}{a - 1}$

$x < a$

(iii) $a - 1 = 0$、つまり $a = 1$ のとき

不等式は $0 \cdot x > 0$ となります。この不等式を満たす $x$ は存在しません。したがって、解なしとなります。

3. 最終的な答え

$a > 1$ のとき: $x > a$

$a < 1$ のとき: $x < a$

$a = 1$ のとき: 解なし