不等式 $5(x-1) < 2(2x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=6$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $5(x-1) < 2(2x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=6$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式を解きます。

$5(x-1) < 2(2x+a)$

$5x - 5 < 4x + 2a$

$5x - 4x < 2a + 5$

$x < 2a + 5$

次に、不等式を満たす最大の整数 $x$ が $6$ であるという条件から、$6 < 2a+5 \leq 7$ であることがわかります。なぜなら、$x=6$ が不等式を満たす最大の整数なので、$x$ は $6$ より大きく、かつ $7$ 以下である必要があるからです。

したがって、以下の不等式を解きます。

$6 < 2a + 5 \leq 7$

各辺から5を引きます。

$6 - 5 < 2a + 5 - 5 \leq 7 - 5$

$1 < 2a \leq 2$

各辺を2で割ります。

$\frac{1}{2} < a \leq 1$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} < a \leq 1$