全体集合$U$の部分集合$A$, $B$について、$A \subset B$のとき、以下の集合を求めよ。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合$U$の部分集合$A$, $B$について、$A \subset B$のとき、以下の集合を求めよ。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

$A \subset B$ は、$A$が$B$の部分集合であることを意味する。つまり、$A$のすべての要素は$B$の要素でもある。

(1) $A \cap B$ は、$A$と$B$の両方に含まれる要素の集合である。$A \subset B$なので、$A$の要素はすべて$B$に含まれている。したがって、$A \cap B = A$である。

(2) $A \cup B$ は、$A$または$B$に含まれる要素の集合である。$A \subset B$なので、$A$の要素はすべて$B$に含まれている。したがって、$A \cup B = B$である。

(3) $\overline{B}$ は、$B$に含まれない要素の集合である。$A \cap \overline{B}$ は、$A$に含まれ、かつ$B$に含まれない要素の集合である。$A \subset B$なので、$A$の要素はすべて$B$に含まれている。したがって、$A$に含まれて$B$に含まれない要素は存在しない。したがって、$A \cap \overline{B} = \emptyset$である。（$\emptyset$は空集合を表す。）

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = A$

(2) $A \cup B = B$

(3) $A \cap \overline{B} = \emptyset$