$2\sin\theta + 2\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形し、$r = ア\sqrt{イ}$と$\alpha = ウ$ を求める。

1. 問題の内容

$2\sin\theta + 2\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形し、$r = ア\sqrt{イ}$と$\alpha = ウ$ を求める。

2. 解き方の手順

三角関数の合成公式を利用します。

$a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha)$

ここで、$\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$、$\sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$です。

今回の問題では、$a=2$、$b=2$ なので、

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

したがって、

$2\sin\theta + 2\cos\theta = 2\sqrt{2}\sin(\theta + \alpha)$

$\cos\alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin\alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin\alpha$と$\cos\alpha$の値から、$\alpha = 45^\circ$であることが分かります。

したがって、$2\sin\theta + 2\cos\theta = 2\sqrt{2}\sin(\theta + 45^\circ)$

ア = 2

イ = 2

ウ = 45

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 2

ウ: 45