* 問1: $\sqrt{54} - 2\sqrt{20} - \sqrt{96} + 2\sqrt{125}$ を計算する。 * 問2: $x^2 - y^2$ を因数分解する。 * 問3: 3桁の整数 $n$ の百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c$ としたとき、$a, b, c$ が互いに異なる $n$ は何個あるか求める。 * 問4: 電車の速さが $50.0 \text{ m/s}$ のとき、車内から雨が垂直と45度の角をなして降っているように見えたとすると、雨滴の落下の速さはいくらになるか求める。 * 問5: ある距離をへだてた2点 A と B にそれぞれ振動数が $342 \text{ Hz}$ と $338 \text{ Hz}$ の2つの音源があり、A と B を結ぶ線分上に観測者がいる。観測者が線分 AB 上を動いてうなりが聞こえなくなるためには、どちらの方に動けば良いか。また、観測者の動く速さはいくらになるか求める。音速は $340 \text{ m/s}$ とする。 * 問6: 水酸化ナトリウムと水酸化カリウムの混合物 $2.32 \text{ g}$ を水に溶かし、$1.00 \text{ mol/L}$ の塩酸で中和するのに $50.0 \text{ mL}$ が必要であった。混合液中に水酸化カリウムは何 g 含まれていたか求める。原子量は H=1.0, O=16, Na=23, Cl=35.5, K=39 とする。 * 問7: ある量のマルトース（麦芽糖）を完全に加水分解したのち、十分な量のフェーリング液と熱したところ、$1.44 \text{ g}$ の赤色沈殿が生じた。マルトースは何 g あったか求める。ただし、反応は完全に進行し、グルコース 1 mol につき沈殿 1 mol が生じるものとする。原子量は H=1.0, C=12, O=16, Cu=64 とする。 * 問9: 自然界における窒素循環のうち、アンモニア塩 → 亜硝酸塩 → 硝酸塩へと変換する微生物の働きを何と呼ぶか。また、この働きはそれらの微生物自身が生きるうえでどのような意味を持つか、40文字以内で説明せよ。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。今回は問1, 問2, 問3, 問4, 問5, 問6, 問7, 問9を解きます。

1. 問題の内容

* 問1: $\sqrt{54} - 2\sqrt{20} - \sqrt{96} + 2\sqrt{125}$ を計算する。

* 問2: $x^2 - y^2$ を因数分解する。

* 問3: 3桁の整数 $n$ の百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c$ としたとき、$a, b, c$ が互いに異なる $n$ は何個あるか求める。

* 問4: 電車の速さが $50.0 \text{ m/s}$ のとき、車内から雨が垂直と45度の角をなして降っているように見えたとすると、雨滴の落下の速さはいくらになるか求める。

* 問5: ある距離をへだてた2点 A と B にそれぞれ振動数が $342 \text{ Hz}$ と $338 \text{ Hz}$ の2つの音源があり、A と B を結ぶ線分上に観測者がいる。観測者が線分 AB 上を動いてうなりが聞こえなくなるためには、どちらの方に動けば良いか。また、観測者の動く速さはいくらになるか求める。音速は $340 \text{ m/s}$ とする。

* 問6: 水酸化ナトリウムと水酸化カリウムの混合物 $2.32 \text{ g}$ を水に溶かし、$1.00 \text{ mol/L}$ の塩酸で中和するのに $50.0 \text{ mL}$ が必要であった。混合液中に水酸化カリウムは何 g 含まれていたか求める。原子量は H=1.0, O=16, Na=23, Cl=35.5, K=39 とする。

* 問7: ある量のマルトース（麦芽糖）を完全に加水分解したのち、十分な量のフェーリング液と熱したところ、$1.44 \text{ g}$ の赤色沈殿が生じた。マルトースは何 g あったか求める。ただし、反応は完全に進行し、グルコース 1 mol につき沈殿 1 mol が生じるものとする。原子量は H=1.0, C=12, O=16, Cu=64 とする。

* 問9: 自然界における窒素循環のうち、アンモニア塩 → 亜硝酸塩 → 硝酸塩へと変換する微生物の働きを何と呼ぶか。また、この働きはそれらの微生物自身が生きるうえでどのような意味を持つか、40文字以内で説明せよ。

2. 解き方の手順

* 問1:

* 根号の中を簡単にする。

* $\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}$

* $\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$

* $\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6}$

* $\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}$

* 与式に代入すると、

$3\sqrt{6} - 2(2\sqrt{5}) - 4\sqrt{6} + 2(5\sqrt{5}) = 3\sqrt{6} - 4\sqrt{5} - 4\sqrt{6} + 10\sqrt{5} = -\sqrt{6} + 6\sqrt{5}$

* 問2:

* 二乗の差の公式を用いる。

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$

* 問3:

* 百の位は0以外なので9通り。

* 十の位は百の位で使った数字以外なので9通り。

* 一の位は百の位と十の位で使った数字以外なので8通り。

* よって、 $9 \times 9 \times 8 = 648$

* 問4:

* 雨が垂直に降っているように見えるのは、電車の速度と雨の水平方向の速度が同じであるため。

* 45度の角度で降っているように見えるので、雨の水平方向の速度と垂直方向の速度が等しい。

* 電車の速度が $50.0 \text{ m/s}$ なので、雨の水平方向の速度も $50.0 \text{ m/s}$。

* したがって、雨の垂直方向の速度も $50.0 \text{ m/s}$。

* 雨滴の落下の速さは、水平方向と垂直方向の速度の合成ベクトルなので、$50.0 \text{ m/s}$。

* 問5:

* うなりが聞こえなくなるのは、観測者が感じる振動数が等しいとき。

* 音源 A の振動数を $f_A = 342 \text{ Hz}$、音源 B の振動数を $f_B = 338 \text{ Hz}$ とする。

* 観測者が A に向かって動く場合、観測者が感じる振動数は高くなり、B から遠ざかるので、観測者が感じる振動数は低くなる。

* 観測者が B に向かって動く場合、観測者が感じる振動数は低くなり、A から遠ざかるので、観測者が感じる振動数は高くなる。

* よって、観測者は振動数の低い B に向かって動く必要がある。

* 観測者の速度を $v$、音速を $V = 340 \text{ m/s}$ とすると、ドップラー効果により、

$f_A' = \frac{V-v}{V} f_A$

$f_B' = \frac{V+v}{V} f_B$

$f_A' = f_B'$ より、

$\frac{V-v}{V} f_A = \frac{V+v}{V} f_B$

$(V-v) f_A = (V+v) f_B$

$V f_A - v f_A = V f_B + v f_B$

$V(f_A - f_B) = v(f_A + f_B)$

$v = V \frac{f_A - f_B}{f_A + f_B} = 340 \times \frac{342 - 338}{342 + 338} = 340 \times \frac{4}{680} = 2$

* 問6:

* 水酸化ナトリウムを $x \text{ g}$、水酸化カリウムを $y \text{ g}$ とすると、$x + y = 2.32$。

* 水酸化ナトリウムのモル質量は $23 + 16 + 1 = 40 \text{ g/mol}$ なので、水酸化ナトリウムの物質量は $\frac{x}{40} \text{ mol}$。

* 水酸化カリウムのモル質量は $39 + 16 + 1 = 56 \text{ g/mol}$ なので、水酸化カリウムの物質量は $\frac{y}{56} \text{ mol}$。

* 塩酸の物質量は $1.00 \text{ mol/L} \times 0.050 \text{ L} = 0.050 \text{ mol}$。

* 中和反応より、$\frac{x}{40} + \frac{y}{56} = 0.050$。

* 連立方程式を解く。

$x + y = 2.32$

$\frac{x}{40} + \frac{y}{56} = 0.050$

$56x + 40y = 0.050 \times 40 \times 56 = 112$

$y = 2.32 - x$

$56x + 40(2.32 - x) = 112$

$56x + 92.8 - 40x = 112$

$16x = 19.2$

$x = 1.2$

$y = 2.32 - 1.2 = 1.12$

* 問7:

* マルトース（麦芽糖）は、グルコース2分子が結合した二糖類。

* マルトース1 mol が加水分解されると、グルコース2 mol が生成する。

* グルコース1 mol から酸化銅(I) $Cu_2O$ 1 mol が生成する。$Cu_2O$のモル質量は $64 \times 2 + 16 = 144 \text{ g/mol}$

* 生成した酸化銅(I) が $1.44 \text{ g}$ なので、酸化銅(I)の物質量は $\frac{1.44}{144} = 0.010 \text{ mol}$。

* グルコースの物質量は $0.010 \text{ mol}$ なので、マルトースの物質量は $\frac{0.010}{2} = 0.005 \text{ mol}$。

* マルトースのモル質量は $12 \times 12 + 1 \times 22 + 16 \times 11 = 144 + 22 + 176 = 342 \text{ g/mol}$。

* マルトースの質量は $0.005 \text{ mol} \times 342 \text{ g/mol} = 1.71 \text{ g}$。

* 問9:

* アンモニア塩 → 亜硝酸塩 → 硝酸塩へと変換する微生物の働きは、**硝化**という。

* この働きは、微生物がアンモニアを酸化してエネルギーを得るため、**エネルギー獲得**のために行われる。

3. 最終的な答え

* 問1: $-\sqrt{6} + 6\sqrt{5}$

* 問2: $(x+y)(x-y)$

* 問3: $648$ 個

* 問4: $50.0 \text{ m/s}$

* 問5: B に向かって、$2 \text{ m/s}$

* 問6: $1.12 \text{ g}$

* 問7: $1.71 \text{ g}$

* 問9: 硝化。エネルギー獲得。