$\theta$ が $130^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$ の範囲にあり、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ であるとき、以下の3つの式の値を求める問題です。 (1) $\sin \theta \cos \theta$ (2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ (3) $\sin \theta - \cos \theta$

1. 問題の内容

$\theta$ が $130^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$ の範囲にあり、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ であるとき、以下の3つの式の値を求める問題です。

(1) $\sin \theta \cos \theta$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$

(3) $\sin \theta - \cos \theta$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta \cos \theta$ の値を求める。

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ の両辺を2乗すると、

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{2})^2$

$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{4}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の値を求める。

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$

$= (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ と $\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$ を代入すると、

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\frac{1}{2})(1 - (-\frac{3}{8})) = \frac{1}{2}(1 + \frac{3}{8}) = \frac{1}{2}(\frac{11}{8}) = \frac{11}{16}$

(3) $\sin \theta - \cos \theta$ の値を求める。

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta$

$= 1 - 2 \sin \theta \cos \theta$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$ を代入すると、

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2(-\frac{3}{8}) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

よって、$\sin \theta - \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{7}{4}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{2}$

ここで、$130^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$ より、$\sin \theta > 0$ であり、$\cos \theta < 0$ である。

したがって、$\sin \theta - \cos \theta > 0$ となるので、$\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{11}{16}$

(3) $\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$