## 解答

## 解答

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1. 問題の内容

与えられた画像には、いくつかの数学の問題が含まれています。これらの問題を解くことを求められています。具体的には、以下の内容です。

1. 逆三角関数の値を求める。

2. 順列、組合せ、重複組合せの値を求める。

3. 二項展開における特定の項の係数を求める。

4. 1から100までの数字が書かれたカードから1枚引くときの確率を求める。

5. さいころを1回振る時の事象の独立性を判定する。

6. 期待値を求める。

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2. 解き方の手順

順番に問題を解いていきます。

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1. 逆三角関数の値を求める**

(1) $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$

$sin(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を求めます。$\theta$の範囲は$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$です。

したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}$です。

(2) $arccos(-\frac{1}{2})$

$cos(\theta) = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求めます。$\theta$の範囲は$0 \leq \theta \leq \pi$です。

したがって、$\theta = \frac{2\pi}{3}$です。

(3) $arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}})$

$tan(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ となる $\theta$ を求めます。$\theta$の範囲は$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$です。

したがって、$\theta = -\frac{\pi}{6}$です。

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2. 順列、組合せ、重複組合せの値を求める**

(1) $_7P_3$

順列の公式: $_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$

$_7P_3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$

(2) $_5\Pi_4$

重複順列の公式: $_n\Pi_r = n^r$

$_5\Pi_4 = 5^4 = 625$

(3) $_6C_3$

組合せの公式: $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

$_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(4) $_6H_3$

重複組合せの公式: $_nH_r = _{n+r-1}C_r$

$_6H_3 = _{6+3-1}C_3 = _8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

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3. 二項展開における特定の項の係数を求める**

(1) $(x+y)^5$ の $[x^2y^3]$ の係数

二項定理: $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k x^{n-k}y^k$

$x^2y^3$の係数は、${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

(2) $(x+y)^8$ の $[x^5y^3]$ の係数

$x^5y^3$の係数は、${}_8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

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4. 確率を求める**

(1) 37以下の数字が書かれたカードを引く確率

1から37までの数字は37個なので、確率は $\frac{37}{100}$

(2) 37以下でない数字が書かれたカードを引く確率

38から100までの数字は100 - 37 = 63個なので、確率は $\frac{63}{100}$

(3) 一の位が2または7である数字が書かれたカードを引く確率

一の位が2である数は、2, 12, 22, ..., 92 の10個。

一の位が7である数は、7, 17, 27, ..., 97 の10個。

合計20個なので、確率は $\frac{20}{100} = \frac{1}{5}$

(4) 3の倍数かつ5の倍数である数字が書かれたカードを引く確率

3の倍数かつ5の倍数ということは、15の倍数であること。

15の倍数は、15, 30, 45, 60, 75, 90 の6個。

確率は $\frac{6}{100} = \frac{3}{50}$

(5) 3の倍数または5の倍数である数字が書かれたカードを引く確率

3の倍数は33個(100//3)

5の倍数は20個(100//5)

15の倍数は6個

3の倍数または5の倍数の数は、33 + 20 - 6 = 47個

確率は $\frac{47}{100}$

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5. 事象の独立性を判定する**

A: 偶数である, B: 3の倍数である, C: 4以下である

(1) AとB

P(A) = 1/2

P(B) = 1/3

P(A∩B) = P(6の倍数) = 16/100 = 4/25

P(A)P(B) = 1/2 * 1/3 = 1/6 = 4.166/25

P(A∩B) ≠ P(A)P(B)なので、独立ではない。

(2) AとC

P(A) = 1/2

P(C) = 4/6 = 2/3

P(A∩C) = P(2,4) = 2/6 = 1/3

P(A)P(C) = 1/2 * 2/3 = 1/3

P(A∩C) = P(A)P(C)なので、独立である。

(3) BとC

P(B) = 1/3

P(C) = 2/3

P(B∩C) = P(3) = 1/6

P(B)P(C) = 1/3 * 2/3 = 2/9

P(B∩C) ≠ P(B)P(C)なので、独立ではない。

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6. 期待値を求める**

(1) 箱を選ぶときの金額の期待値

(100円 x 1個 + 50円 x 3個 + 10円 x 6個) / 10個 = (100 + 150 + 60) / 10 = 310 / 10 = 31円

(2) コインを投げるゲームの期待値

表が出る確率 = 1/2, 裏が出る確率 = 1/2

1回目で表が出た場合：100円

1回目で裏、2回目で表が出た場合：100円

1回目、2回目裏、3回目で表が出た場合：100円

期待値 = (1/2 * 100) + (1/2 * 1/2 * 100) + (1/2 * 1/2 * 1/2 * 100)

= 50 + 25 + 12.5 = 87.5円

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3. 最終的な答え

1. (1) $\frac{\pi}{3}$, (2) $\frac{2\pi}{3}$, (3) $-\frac{\pi}{6}$

2. (1) 210, (2) 625, (3) 20, (4) 56

3. (1) 10, (2) 56

4. (1) $\frac{37}{100}$, (2) $\frac{63}{100}$, (3) $\frac{1}{5}$, (4) $\frac{3}{50}$, (5) $\frac{47}{100}$

5. (1) 独立ではない, (2) 独立である, (3) 独立ではない

6. (1) 31円, (2) 87.5円