全体集合 $U = \{x | x \text{ は } 0 \leq x \leq 10 \text{ を満たす整数} \}$ の部分集合 $A$, $B$ について、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 3, 6, 7\}$, $A \cap B = \{4\}$, $\overline{A} \cap B = \{2, 5, 10\}$ であるとき、$A$ を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | x \text{ は } 0 \leq x \leq 10 \text{ を満たす整数} \}$ の部分集合 $A$, $B$ について、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 3, 6, 7\}$, $A \cap B = \{4\}$, $\overline{A} \cap B = \{2, 5, 10\}$ であるとき、$A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた集合を整理する。

$U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$\overline{A} \cap \overline{B}$ は、$A$ にも $B$ にも属さない要素の集合である。

$A \cap B$ は、$A$ と $B$ の両方に属する要素の集合である。

$\overline{A} \cap B$ は、$A$ には属さないが $B$ には属する要素の集合である。

集合 $A$ に属する要素は、$A \cap B$ と $A \cap \overline{B}$ に属する要素である。

集合 $B$ に属する要素は、$A \cap B$ と $\overline{A} \cap B$ に属する要素である。

全体集合 $U$ から $A \cap B$, $\overline{A} \cap B$, $\overline{A} \cap \overline{B}$ を取り除いた集合は、$A \cap \overline{B}$ に等しい。

すなわち、

$A \cap \overline{B} = U - (A \cap B) - (\overline{A} \cap B) - (\overline{A} \cap \overline{B})$

$A \cap \overline{B} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} - \{4\} - \{2, 5, 10\} - \{1, 3, 6, 7\}$

$A \cap \overline{B} = \{0, 8, 9\}$

したがって、$A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$ であるから、

$A = \{4\} \cup \{0, 8, 9\} = \{0, 4, 8, 9\}$

3. 最終的な答え

$A = \{0, 4, 8, 9\}$