底面の半径が8cm、高さが24cmの円錐形の容器がある。この容器に毎秒5cm$^3$の割合で水を注ぐとき、水面の高さが12cmになったときの水面の上昇速度を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が8cm、高さが24cmの円錐形の容器がある。この容器に毎秒5cm$^3$の割合で水を注ぐとき、水面の高さが12cmになったときの水面の上昇速度を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円錐の相似比を利用して、水面の高さ$h$における水面の半径$r$を求める。

円錐の高さと半径の比は常に一定なので、

$\frac{r}{h} = \frac{8}{24}$

$r = \frac{h}{3}$

(2) 水面の高さが$h$のときの水の体積$V$を求める。

円錐の体積の公式は$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$なので、

$V = \frac{1}{3} \pi (\frac{h}{3})^2 h = \frac{\pi h^3}{27}$

(3) 体積$V$の時間変化$\frac{dV}{dt}$と高さ$h$の時間変化$\frac{dh}{dt}$の関係式を求める。

$V = \frac{\pi h^3}{27}$の両辺を時間$t$で微分すると、

$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{27} \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{9} \frac{dh}{dt}$

(4) 問題文より$\frac{dV}{dt} = 5$であり、$h = 12$のときの$\frac{dh}{dt}$を求める。

$5 = \frac{\pi (12)^2}{9} \frac{dh}{dt}$

$5 = \frac{144\pi}{9} \frac{dh}{dt}$

$5 = 16\pi \frac{dh}{dt}$

$\frac{dh}{dt} = \frac{5}{16\pi}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{16\pi}$ cm/秒