問題は、もし $a+b$ が有理数ならば $a^2 + b^2$ は有理数であるかどうかを問うものです。

1. 問題の内容

問題は、もし $a+b$ が有理数ならば $a^2 + b^2$ は有理数であるかどうかを問うものです。

2. 解き方の手順

$a+b$ が有理数であるという条件だけでは、$a^2+b^2$ が有理数であるとは限りません。反例を挙げることができます。

例えば、$a = \sqrt{2}$, $b = -\sqrt{2}$ の場合、$a+b = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ であり、0 は有理数です。しかし、$a^2+b^2 = (\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$ であり、4 は有理数です。

一方、$a = 1 + \sqrt{2}$, $b = 1 - \sqrt{2}$ の場合、$a+b = (1 + \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2}) = 2$ であり、2 は有理数です。しかし、$a^2+b^2 = (1 + \sqrt{2})^2 + (1 - \sqrt{2})^2 = (1 + 2\sqrt{2} + 2) + (1 - 2\sqrt{2} + 2) = 3 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} = 6$ であり、6 は有理数です。

しかし、$a = \sqrt{2}$, $b = 1 - \sqrt{2}$ の場合、$a+b = \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} = 1$ であり、1 は有理数です。そして、$a^2 + b^2 = (\sqrt{2})^2 + (1-\sqrt{2})^2 = 2 + (1 - 2\sqrt{2} + 2) = 2 + 3 - 2\sqrt{2} = 5 - 2\sqrt{2}$ となり、これは無理数です。

したがって、$a+b$ が有理数であっても $a^2 + b^2$ が有理数であるとは限りません。

3. 最終的な答え

$a+b$ が有理数であっても、$a^2 + b^2$ は有理数であるとは限らない。