問題は、$(a+3b)^3$ を展開することです。

1. 問題の内容

問題は、$(a+3b)^3$ を展開することです。

2. 解き方の手順

二項定理またはパスカルの三角形を利用して展開します。二項定理の公式は次の通りです。

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$

ここで、$\binom{n}{k}$ は二項係数であり、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ で計算できます。

この問題では、$x=a$, $y=3b$, $n=3$ なので、

$(a+3b)^3 = \binom{3}{0}a^3(3b)^0 + \binom{3}{1}a^2(3b)^1 + \binom{3}{2}a^1(3b)^2 + \binom{3}{3}a^0(3b)^3$

各二項係数を計算します。

$\binom{3}{0} = \frac{3!}{0!3!} = 1$

$\binom{3}{1} = \frac{3!}{1!2!} = 3$

$\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!1!} = 3$

$\binom{3}{3} = \frac{3!}{3!0!} = 1$

これらの値を代入して、

$(a+3b)^3 = 1 \cdot a^3 \cdot 1 + 3 \cdot a^2 \cdot 3b + 3 \cdot a \cdot (3b)^2 + 1 \cdot 1 \cdot (3b)^3$

$(a+3b)^3 = a^3 + 9a^2b + 3a(9b^2) + 27b^3$

$(a+3b)^3 = a^3 + 9a^2b + 27ab^2 + 27b^3$

3. 最終的な答え

$a^3 + 9a^2b + 27ab^2 + 27b^3$