$a$と$k$は実数であり、$ak^2 = \frac{2}{3}$ を満たすとき、以下の2つの問いに答えます。 (1) $k=$[エ]のとき、$a$は無理数となる。 (2) $a=$[オ]のとき、$k$は有理数となる。

1. 問題の内容

$a$と$k$は実数であり、$ak^2 = \frac{2}{3}$ を満たすとき、以下の2つの問いに答えます。

(1) $k=$[エ]のとき、$a$は無理数となる。

(2) $a=$[オ]のとき、$k$は有理数となる。

2. 解き方の手順

(1) $a = \frac{2}{3k^2}$ なので、$a$が無理数となるためには、$k$が有理数でなければなりません。

選択肢の中で、$k$が有理数でないものを選びます。すると、$k=\sqrt{3}-1$と$k=\sqrt{3}$が候補として残ります。

$k=\sqrt{3}$の場合、$a = \frac{2}{3(\sqrt{3})^2} = \frac{2}{3 \cdot 3} = \frac{2}{9}$ となり、$a$は有理数になってしまいます。したがって、$k=\sqrt{3}-1$となります。

$k = \sqrt{3}-1$のとき、$k^2 = (\sqrt{3}-1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$

$a = \frac{2}{3(4-2\sqrt{3})} = \frac{2}{12-6\sqrt{3}} = \frac{1}{6-3\sqrt{3}} = \frac{6+3\sqrt{3}}{(6-3\sqrt{3})(6+3\sqrt{3})} = \frac{6+3\sqrt{3}}{36 - 27} = \frac{6+3\sqrt{3}}{9} = \frac{2+\sqrt{3}}{3}$

$a$は無理数になります。

(2) $k^2 = \frac{2}{3a}$ なので、$k = \pm \sqrt{\frac{2}{3a}}$ となります。$k$が有理数となるためには、$\frac{2}{3a}$が平方数である必要があります。

$a=\sqrt{3}-1$の場合、$k=\pm \sqrt{\frac{2}{3(\sqrt{3}-1)}} = \pm \sqrt{\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3(3-1)}} = \pm \sqrt{\frac{2(\sqrt{3}+1)}{6}} = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{3}}$となり、$k$は有理数ではありません。

$a = \frac{3}{2}$ の場合、$k = \pm \sqrt{\frac{2}{3 \cdot \frac{3}{2}}} = \pm \sqrt{\frac{2}{\frac{9}{2}}} = \pm \sqrt{\frac{4}{9}} = \pm \frac{2}{3}$ となり、$k$は有理数になります。

$a = \sqrt{3}$ の場合、$k = \pm \sqrt{\frac{2}{3\sqrt{3}}}$となり、$k$は有理数ではありません。

$a = 3$ の場合、$k = \pm \sqrt{\frac{2}{3 \cdot 3}} = \pm \sqrt{\frac{2}{9}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{3}$ となり、$k$は有理数ではありません。

したがって、$a = \frac{3}{2}$ のとき、$k$は有理数となります。

3. 最終的な答え

(1) $k = \sqrt{3}-1$ のとき、$a$は無理数となる。

(2) $a = \frac{3}{2}$ のとき、$k$は有理数となる。