海外旅行者100人のうち、75人が風邪薬を、80人が胃薬を携帯していました。このとき、風邪薬と胃薬の両方を携帯した人が最も多い場合と最も少ない場合をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

海外旅行者100人のうち、75人が風邪薬を、80人が胃薬を携帯していました。このとき、風邪薬と胃薬の両方を携帯した人が最も多い場合と最も少ない場合をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

まず、集合の考え方を使って問題を整理します。

全体集合を$U$（100人）、風邪薬を携帯した人の集合を$A$（75人）、胃薬を携帯した人の集合を$B$（80人）とします。

$A \cap B$ は、風邪薬と胃薬の両方を携帯した人の集合です。

(1) 最も多い場合

風邪薬を携帯した人全員が胃薬も携帯している場合、つまり、$A \subset B$である場合を考えます。

このとき、$A \cap B = A$ となり、$A \cap B$の人数は$|A| = 75$人となります。

しかし、$|A \cap B|$ が $|A|$ を超えることはないので、これが最大値です。

(2) 最も少ない場合

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ の式を利用します。

$|A \cup B|$ は最大で100人なので、$|A \cup B| \le 100$ となります。

$75 + 80 - |A \cap B| \le 100$

$155 - |A \cap B| \le 100$

$-|A \cap B| \le -55$

$|A \cap B| \ge 55$

したがって、$A \cap B$ の人数は少なくとも55人となります。

3. 最終的な答え

風邪薬と胃薬の両方を携帯した人が最も多い場合は75人、最も少ない場合は55人です。