平面上に三角形ABCがあり、点Pが $(2-3t)\vec{PA} + t\vec{PB} + (2t-1)\vec{PC} = \vec{0}$ を満たしています。$t$ は実数の定数です。 (1) $\vec{AP}$ を $t, \vec{AB}, \vec{AC}$ を用いて表してください。 (2) 辺BCの中点をMとするとき、Pが直線AM上に存在するような $t$ の値を求めてください。 (3) (2)で求めた $t$ の値に対するPをQとします。三角形BCPの面積をS、三角形BCQの面積をTとするとき、$S \geq 3T$となるような $t$ の範囲を求めてください。

1. 問題の内容

平面上に三角形ABCがあり、点Pが $(2-3t)\vec{PA} + t\vec{PB} + (2t-1)\vec{PC} = \vec{0}$ を満たしています。$t$ は実数の定数です。

(1) $\vec{AP}$ を $t, \vec{AB}, \vec{AC}$ を用いて表してください。

(2) 辺BCの中点をMとするとき、Pが直線AM上に存在するような $t$ の値を求めてください。

(3) (2)で求めた $t$ の値に対するPをQとします。三角形BCPの面積をS、三角形BCQの面積をTとするとき、$S \geq 3T$となるような $t$ の範囲を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{AP}$ を求める。

与えられた式を書き換えます。

$(2-3t)\vec{PA} + t\vec{PB} + (2t-1)\vec{PC} = \vec{0}$

$-(2-3t)\vec{AP} + t(\vec{AB}-\vec{AP}) + (2t-1)(\vec{AC}-\vec{AP}) = \vec{0}$

$-(2-3t)\vec{AP} + t\vec{AB} - t\vec{AP} + (2t-1)\vec{AC} - (2t-1)\vec{AP} = \vec{0}$

$(-2+3t - t - 2t + 1)\vec{AP} = t\vec{AB} + (2t-1)\vec{AC}$

$-\vec{AP} = t\vec{AB} + (2t-1)\vec{AC}$

$\vec{AP} = -t\vec{AB} + (1-2t)\vec{AC}$

(2) Pが直線AM上にあるための条件を求める。

MはBCの中点なので、$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$です。

Pが直線AM上にあるということは、ある実数kを用いて$\vec{AP} = k\vec{AM}$と表せるということです。

$\vec{AP} = -t\vec{AB} + (1-2t)\vec{AC}$

$\vec{AP} = \frac{k}{2}\vec{AB} + \frac{k}{2}\vec{AC}$

$\vec{AB}$と$\vec{AC}$は一次独立なので、それぞれの係数を比較して、

$-t = \frac{k}{2}$ かつ $1-2t = \frac{k}{2}$

よって、$-t = 1-2t$

$t = 1$

(3) $S \geq 3T$となるようなtの範囲を求める。

$t=1$のとき、PはQとなるので、

$\vec{AQ} = -\vec{AB} - \vec{AC}$

$\vec{AQ} = -(\vec{AB} + \vec{AC})$

$Q$は直線AM上にあるので、$Q = k\vec{AM}$

$k = -2$, $\vec{AQ} = -2\vec{AM}$

三角形BCPの面積Sは、$S = \frac{1}{2} |\vec{BC} \times \vec{BP}|$

三角形BCQの面積Tは、$T = \frac{1}{2} |\vec{BC} \times \vec{BQ}|$

ここで、$\vec{AP} = -t\vec{AB} + (1-2t)\vec{AC}$なので、

$\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP} = \vec{OA} - t\vec{AB} + (1-2t)\vec{AC}$

$\vec{BP} = \vec{OP} - \vec{OB} = \vec{OA} - \vec{OB} - t\vec{AB} + (1-2t)\vec{AC} = \vec{BA} - t\vec{AB} + (1-2t)\vec{AC} = -(1+t)\vec{AB} + (1-2t)\vec{AC}$

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$

$S = \frac{1}{2}|(\vec{AC} - \vec{AB}) \times (-(1+t)\vec{AB} + (1-2t)\vec{AC})| = \frac{1}{2}|-(1+t)(\vec{AC} \times \vec{AB}) + (1-2t)(\vec{AC} \times \vec{AC}) + (1+t)(\vec{AB} \times \vec{AB}) - (1-2t)(\vec{AB} \times \vec{AC})| = \frac{1}{2}|-(1+t)(\vec{AC} \times \vec{AB}) - (1-2t)(\vec{AB} \times \vec{AC})| = \frac{1}{2}|(1+t + 1-2t)(\vec{AB} \times \vec{AC})| = \frac{1}{2}|(2-t)(\vec{AB} \times \vec{AC})| = \frac{1}{2}|2-t||\vec{AB} \times \vec{AC}|$

$\vec{AQ} = -\vec{AB} - \vec{AC}$

$\vec{BQ} = \vec{AQ} - \vec{AB} = -2\vec{AB} - \vec{AC}$

$T = \frac{1}{2} |\vec{BC} \times \vec{BQ}| = \frac{1}{2}|(\vec{AC} - \vec{AB}) \times (-2\vec{AB} - \vec{AC})| = \frac{1}{2}|-2(\vec{AC} \times \vec{AB}) - (\vec{AC} \times \vec{AC}) + 2(\vec{AB} \times \vec{AB}) + (\vec{AB} \times \vec{AC})| = \frac{1}{2}|-2(\vec{AC} \times \vec{AB}) + (\vec{AB} \times \vec{AC})| = \frac{1}{2}|3(\vec{AB} \times \vec{AC})| = \frac{3}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|$

$S \geq 3T$

$\frac{1}{2}|2-t||\vec{AB} \times \vec{AC}| \geq 3 \cdot \frac{3}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|$

$|2-t| \geq 9$

$2-t \geq 9$ or $2-t \leq -9$

$-t \geq 7$ or $-t \leq -11$

$t \leq -7$ or $t \geq 11$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AP} = -t\vec{AB} + (1-2t)\vec{AC}$

(2) $t=1$

(3) $t \leq -7$ または $t \geq 11$