四角形ABCDにおいて、AD = 7cm, BC = 23cm であり、AE = EB, AF = FDである。このとき、線分EFの長さを求める問題である。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、AD = 7cm, BC = 23cm であり、AE = EB, AF = FDである。このとき、線分EFの長さを求める問題である。

2. 解き方の手順

線分EFは、三角形ABDの中点連結定理を用いて求める。

AE = EB, AF = FDより、Eは線分ABの中点、Fは線分ADの中点である。したがって、EFは三角形ABDの中点連結線である。

中点連結定理より、線分EFの長さは線分BDの長さの半分である。

次に、線分BDの長さを求める。四角形ABCDの向かい合う角である角Dと角Bについて、中心角と円周角の関係より $∠D + ∠B = 180°$である。これは四角形ABCDが円に内接していることを意味する。したがって、四角形ABCDは円に内接する四角形である。

四角形ABCDは円に内接するので、トレミーの定理が適用できる。トレミーの定理とは、円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD$が成り立つという定理である。

しかし、問題文にAB, CD, ACの値がないためトレミーの定理は使えない。

ADとBCは平行ではないので台形ではない。角Dと角Bが180度という情報も台形という前提があれば意味を持つが、今のままでは役に立たない。

問題文から、角CBDが23cmの扇形の中心角であることが読み取れる。この角度が何度なのかは不明だが、少なくとも角度の情報が隠されていることを示唆している。

ただし、扇形の半径が明示されていないため、これ以上の情報は読み取れない。

問題文と図から、角ABEと角ADFは同じ角度だと推測できる。しかし、角CABと角CDBが同じ角度であることを示す根拠はないため、四角形ABCDが等脚台形であるとは断定できない。

ここで、中点連結定理に立ち返ると、EF = 1/2 BDである。角DBCが中心角23度の扇形の弧の上にある点なので、円周角の定理より角DACは11.5度になる。しかし、角AEFと角ABEは明らかに同じ角度ではないので、解法として誤っている。

図を注意深く観察すると、線分ABと線分CDは平行であるように見える。もしそうなら、四角形ABCDは台形になる。この場合、角ADC + 角ABC = 180度である。角Dと角Bが180度であるという前提と矛盾しない。

もし台形ならば、点Eと点Fはそれぞれ線分ABと線分ADの中点なので、EFは台形ABCDの中点連結線になる。すると、EF = (AD + BC) / 2になる。

EF = (7 + 23) / 2 = 30 / 2 = 15

3. 最終的な答え

15 cm