台形ABCDにおいて、AE = EB, AF = FC, EG : GC = 4 : 3のとき、HC = xの値（cm）を求める問題。BH=32cmである。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、AE = EB, AF = FC, EG : GC = 4 : 3のとき、HC = xの値（cm）を求める問題。BH=32cmである。

2. 解き方の手順

まず、点E, FがそれぞれAB, ACの中点であることから、EFはBCに平行で、EF = 1/2 * BCとなる。

次に、△EFGと△CBGは相似である。EG : GC = 4 : 3であることから、EG : EC = 4 : (4+3) = 4 : 7となる。

したがって、FG : BG = EG : BC = 4 : 7。

BC = BH + HC = 32 + x。

EF = 1/2 * BC = 1/2 * (32 + x)。

ここで、△EFG ~ △CBGであるから、

EG/GC = EF/BC となる。

EG/EC = EF/BCから、GC/EG = 7/4なのでEC/EG = 7/4。EG/EC=4/7より

EG / BC = 4 / 7 なので、

EG / BC = 4/7

EF = 1/2 BC

なので、

EG / (2*EF) = 4/7

EG= 4/7 * 2*EF

EHはEFと平行なのでECと交わらない。

一方、$EG:GC = 4:3$ であるから、$\frac{EG}{EC} = \frac{4}{7}$ である。

また、$EF = \frac{1}{2} BC$ より、$\frac{EF}{BC} = \frac{1}{2}$ である。

$\triangle EFG \sim \triangle CBG$ より、$\frac{EF}{BC} = \frac{EG}{GC}$ ではない。

よって、EF//BCより、$\triangle AEF \sim \triangle ABC$ であるから、$\frac{EF}{BC} = \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{1}{2}$ が成り立つ。

また、$\frac{EG}{EC} = \frac{4}{7}$ である。EC = EG+GC であるので、

EFはBCに平行であることから、△EFGと△BCGは相似となる。

したがって、$\frac{EF}{BC} = \frac{EG}{CG} = \frac{4}{3}$ である。しかしこれは間違い。

したがって、$\frac{GC}{EC} = \frac{3}{7}$。△EFG∽△CBGなので、$\frac{FG}{BG} = \frac{EG}{CG}=\frac{4}{3}$。

求めるのはxなので、$\frac{GH}{CH} = \frac{BG}{FG}=\frac{3}{4}$

$\frac{GH}{32} = \frac{GC}{BC} = \frac{3}{7}$ なので

GH=32 *3/7 = 96/7

HC = xの時 $\frac{CH}{BC}= \frac{4}{7}$なので

$\frac{GH}{HC}= \frac{GH/BC}{HC/BC}= \frac{GH}{x}$

EF//BCより△AEFと△ABCは相似である。このとき$\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{EF}{BC} = \frac{1}{2}$

EF//BCより直線EFと直線BCは平行である。

よって$\triangle EFGと \triangle CBG$は相似である。

$\frac{EG}{EC} = \frac{4}{7}$と、$\frac{EF}{BC} = \frac{1}{2}$である。

このとき相似な三角形より、$\frac{EG}{GC} = \frac{4}{3}$より、$\frac{EG}{EC}=\frac{4}{7}$。$\frac{FG}{BC}$

$\frac{BC}{EF} = \frac{7}{4}$

$EF = \frac{1}{2} BC$

$BG/GC= 4/3$

$HC=x, BC = BH+HC= 32+x$

$\frac{x}{41}$

$\frac{GH}{HC}=\frac{2}{7}$

$\frac{GH}{x}$

△EFGと△CBGにおいて$\frac{EG}{GC}=\frac{4}{3}$ということは$\frac{EG}{EC}= \frac{4}{7}$である。

ここで$\frac{BH}{HC}= \frac{BG}{FG}$が成り立つはずである。

ここで錯角より$\frac{BG}{FG}=$\frac{4}{3}。

またBG/FG=32/xとなるはずである。

$\\frac{BH}{HC}=\frac{BG}{FG}=\frac{EG}{CG} =4/3$

したがって32/x=4/3。

したがって4x= 32*3= 96

x= 96/4=24。

3. 最終的な答え

x = 24