台形ABCDにおいて、AE = EB, AF = FCであり、FG : GH = 4 : 3のとき、線分BHの長さをxとして、xの値を求める。ただし、線分CIの長さは5.6cmである。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、AE = EB, AF = FCであり、FG : GH = 4 : 3のとき、線分BHの長さをxとして、xの値を求める。ただし、線分CIの長さは5.6cmである。

2. 解き方の手順

まず、AE = EB, AF = FCより、中点連結定理より、EFはDCの半分に等しく、EF // DC。

同様に、FG // CHとなる。三角形EFGと三角形BCHは相似である。

FG : GH = 4 : 3より、FG : FH = 4 : 7である。

FG : CH = 4 : 3なので、GH : FH = 3 : 7である。

三角形EFGと三角形BCHの相似比は、FG : CH = 4 : (3/7)*FH / FH = 4 : 3/7 *FHになる。

線分CIは5.6cmであり、CHはxcmなので、

CH = x

三角形AFEと三角形ADCは相似であり、AF : AC = 1 : 2であるから、FE : DC = 1 : 2となる。

また、三角形EFGと三角形HBCは相似であり、相似比はFG : HB = 4 : 3/7となる。

FE // DCより、FG : CH = EF : DCである。

EF = FE = 1/2 DC = 1/2 * (2 CH) = CH

したがって、FG : CH = FE : DC より、FG : CH = x : 5.6である。

FG : GH = 4 : 3なので、CH = 3/4 x

x = HB

FE = 1/2 DC

FG : CH = x : 5.6の式に代入して解く

4 : 3/4 x = x : 5.6

4 * 5.6 = 3/4 x * x

22.4 = 3/4 x^2

x^2 = 22.4 * 4 / 3 = 89.6 / 3 = 29.8666...

x = sqrt(29.8666...) = 5.465...

FG : GH = 4 : 3

つまり、GH = 3/4 * FG

EF // DCより

三角形AFEと三角形ADCは相似である。

AF = FC、AE = EBなので

FE = 1/2 DC

三角形EFGと三角形CBHが相似。

FG : CH = FE : BC

BC = 2CH

GH : CH = 3 : 4

FG = 4/3 GH = 4/3 (x)

FE : BC = 1 : 2

FE = 1/2 * DC = 1/2 * (2 * 5.6) = 5.6

FE : DC = 1/2

三角形EFG ~ 三角形CBHより

FG / BH = EF / 2 * CI = 4/3 * GH / BH = 5.6 / 2 * 5.6

3. 最終的な答え

x = 4.2