平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をO、辺BCの中点をEとする。線分AEとBDの交点をFとするとき、線分の比AF:FEと三角形AFOと平行四辺形ABCDの面積比を求める問題。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をO、辺BCの中点をEとする。線分AEとBDの交点をFとするとき、線分の比AF:FEと三角形AFOと平行四辺形ABCDの面積比を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) AF:FEを求める。

三角形BEFと三角形DAFに着目する。

EはBCの中点なので、$BE = \frac{1}{2}BC$である。平行四辺形の性質より、$BC = AD$なので、$BE = \frac{1}{2}AD$である。

また、平行四辺形の対辺は平行なので、$BE \parallel AD$である。

したがって、三角形BEFと三角形DAFは相似である。

相似比は、$BE:AD = \frac{1}{2}AD:AD = 1:2$となる。

よって、$AF:FE = AD:BE = 2:1$である。

(2) △AFO:□ABCDを求める。

Oは対角線BDの中点であるから、$BO=OD$である。

また、(1)より、$BF:FD = BE:AD = 1:2$である。

したがって、$BF = \frac{1}{3}BD$である。

$BO = \frac{1}{2}BD$より、$FO = BO - BF = \frac{1}{2}BD - \frac{1}{3}BD = \frac{1}{6}BD$である。

よって、$FO:BO = \frac{1}{6}BD : \frac{1}{2}BD = 1:3$である。

次に、△ABDの面積は、平行四辺形ABCDの面積の半分なので、△ABD = $\frac{1}{2}$□ABCDである。

また、△AFOの面積は、△ABOの面積の$\frac{1}{3}$倍なので、△AFO = $\frac{1}{3}$△ABOである。

△ABOの面積は、△ABDの面積の$\frac{1}{2}$倍なので、△ABO = $\frac{1}{2}$△ABD = $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$□ABCD = $\frac{1}{4}$□ABCDである。

したがって、△AFO = $\frac{1}{3}$△ABO = $\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}$□ABCD = $\frac{1}{12}$□ABCDである。

よって、△AFO:□ABCD = 1:12である。

3. 最終的な答え

AF:FE = 2:1

△AFO:□ABCD = 1:12