問題は、四角形の一部が表示された図において、$EF // BD$、および$FG : GB = 5 : 4$のとき、$x$の値を求める、というものです。

1. 問題の内容

問題は、四角形の一部が表示された図において、$EF // BD$、および$FG : GB = 5 : 4$のとき、$x$の値を求める、というものです。

2. 解き方の手順

まず、$EF // BD$より、$\triangle AEF \sim \triangle ABD$となります。したがって、$AE : AB = AF : AD$が成り立ちます。

また、$FG : GB = 5 : 4$であることから、$FB : GB = (5 + 4) : 4 = 9 : 4$となります。

次に、$GH // CD$より、$\triangle FGH \sim \triangle BCD$となります。したがって、$FG : BC = FH : BD$が成り立ちます。

問題文より、$EF // BD$なので、$AE : AB = AF : AD$です。

$\triangle AFG \sim \triangle ABC$より、$FG : BC = AG : AC$

$FG : GB = 5 : 4$だから、$BC = x$より、$5 : x = AG : AC$

$FG : BC = GH : CD$ なので、$5 : x = 6cm$

$\triangle ABF \sim \triangle ABC$より、$AF : AB = FG : BC$

$FG : GB = 5 : 4$より、$FG / GB = 5 / 4$なので、$BG = \frac{4}{5} FG$

三角形の相似比の関係から、$BG : BC = BF : BD$となる。

$\frac{BG}{BC} = \frac{4}{9}$　なので、$\frac{6}{x} = \frac{4}{9}$

ゆえに、$4x = 6 \cdot 9 = 54$　なので、$x = \frac{54}{4} = \frac{27}{2} = 13.5$

3. 最終的な答え

$x = 13.5$