台形ABCDにおいて、$AE=EB$, $AF=FD$のとき、$EF$の長さを求める問題です。ただし、$BC=x$ cm、$CD=6$ cmとします。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、$AE=EB$, $AF=FD$のとき、$EF$の長さを求める問題です。ただし、$BC=x$ cm、$CD=6$ cmとします。

2. 解き方の手順

$AE=EB$, $AF=FD$であることから、点$E$は線分$AB$の中点、点$F$は線分$AD$の中点であると言えます。したがって、$EF$は三角形$ABD$の中点連結定理により、$BD$の半分の長さになります。同様に，$BC$と$CD$を用いて，$BD$は三角形$BCD$の辺として考えることができます。

中点連結定理より、$EF = \frac{1}{2}BD$です。

また、$BD$は三角形$BCD$の辺であるため、この三角形について考えます。

$E$と$F$がそれぞれ線分$AB$と$AD$の中点であることから、$EF$は三角形$ABD$の中点連結定理により、$BD$の半分です。

同様に、題意より台形$ABCD$について考えると、$EF$は中点連結定理から求まる線です。つまり、$EF = \frac{1}{2} (BC+AD)$という関係が成り立ちます。

画像から台形の種類（等脚台形、平行四辺形など）が判断できないため、中点連結定理からのアプローチは難しいです。しかし、別の考え方として、中点連結定理を用いて、$EF$は三角形$ABD$の$BD$と平行であり、$EF=\frac{1}{2}BD$であると言えます。

問題文に$AE=EB$, $AF=FD$と書かれているので，$EF$は$\triangle ABD$の中点連結定理で、$EF = \frac{1}{2} BD$となります。

また，$BD$と$CD$の関係性は不明ですが、仮に$CD$が$BD$と平行であると仮定すると、$BC$の長さがわかれば、$EF$を求めることができます。

しかし、問題文に$BC$の長さが$x$と書かれているため、$CD$の長さから$EF$の長さを求める必要があります。

$CD=6$であるため、$EF=\frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \times 6 = 3$ cmとなります。

3. 最終的な答え

3 cm