図において、EF // CD、FG:GC = 7:6 のとき、線分HCの長さ $x$ を求める。ただし、EF = 2.1 cm、GH = 4.2 cm である。

1. 問題の内容

図において、EF // CD、FG:GC = 7:6 のとき、線分HCの長さ $x$ を求める。ただし、EF = 2.1 cm、GH = 4.2 cm である。

2. 解き方の手順

まず、EF // CD より、$\triangle EFG$ と $\triangle CDG$ は相似である。

したがって、

$\frac{EF}{CD} = \frac{FG}{GC}$

が成り立つ。

$FG:GC = 7:6$ より、$\frac{FG}{GC} = \frac{7}{6}$であるから、

$\frac{EF}{CD} = \frac{7}{6}$

$EF = 2.1$ cm であるから、

$\frac{2.1}{CD} = \frac{7}{6}$

$CD = \frac{2.1 \times 6}{7} = \frac{12.6}{7} = 1.8$ cm

次に、CD = CH + HD が成り立つ。HC=xなので、CD=x+HD

$\frac{FG}{GC} = \frac{7}{6}$より、$FG = \frac{7}{6}GC$

$\triangle EFG$ と $\triangle CDG$ が相似であるから、

$\frac{FG}{GC} = \frac{EF}{CD} = \frac{2.1}{CD} = \frac{7}{6}$

FG:GC=7:6より、GC=6kとすると、FG=7kと表せる。

$\frac{FG}{GC}=\frac{7k}{6k}=\frac{7}{6}$

同様に、$\frac{EF}{CD}=\frac{7}{6}$より、CD=1.8cm。

ここで、$\triangle FGH$と $\triangle GCD$は相似である。

$\frac{GH}{CD}=\frac{GC}{FC}$

$\frac{4.2}{1.8}=\frac{x}{FG}$

$\frac{CD}{GH}$=$\frac{DG}{GF}$

$\frac{4.2}{CD}=\frac{GH}{CD}$

FG:GC=7:6

$\triangle CDGと$\triangleEFG$が相似

$\frac{EF}{CD}=\frac{FG}{GC} = \frac{EG}{GD}=\frac{7}{6}$

また$\triangle EFGと\triangle EHCは相似

$\triangle EFHとCD

$\frac{FG}{GC}=\frac{EF}{CD}より \frac{7}{6}=\frac{2.1}{CD}$,　$CD=1.8$

$\frac{FG}{GC}=\frac{GH}{HC}$

FG:GC=7:6, GH=4.2, HC=xより

$\frac{7}{6}=\frac{4.2}{x}$

$x = \frac{4.2 \times 6}{7} = \frac{25.2}{7} = 3.6$

3. 最終的な答え

x = 3.6