四角形ABCDにおいて、AE=EB、AF=FD、FG:GH=5:4のとき、CD = x cm の値を求める問題です。ただし、BH = 23 cmです。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、AE=EB、AF=FD、FG:GH=5:4のとき、CD = x cm の値を求める問題です。ただし、BH = 23 cmです。

2. 解き方の手順

まず、FG:GH=5:4であることから、FGとGHの比率を用いてBHの長さを表します。

$FG = 5k$

$GH = 4k$

ここで、$k$ は比例定数です。

$BH = BG + GH$

ここで、$BG = FG$であると推測します。これは、点Gが線分FB上にあること、そして問題文の構成から推測されます。

したがって、$BH = FG + GH = 5k + 4k = 9k$

BH = 23cmなので、$9k = 23$ となります。

よって、$k = \frac{23}{9}$

次に、FGとGHの長さを求めます。

$FG = 5k = 5 \times \frac{23}{9} = \frac{115}{9}$

$GH = 4k = 4 \times \frac{23}{9} = \frac{92}{9}$

次に、中点連結定理を使用します。

AF = FD、AE = EBなので、FEはDBの半分です。同様に、EGとBCの関係も考えると、四角形ABCDにおいて、FG:GH = 5:4を利用します。

AD//FE//BCであることに注意してください。

FG:GH = DB:HC = 5:4より，DBとHCが平行であると推測します。

DHを延長して、ABとの交点をJとすると、四角形AJHDは平行四辺形になるため、AJ = DH, AD = JH となります。

また、$FG:GH = \frac{115}{9} : \frac{92}{9} = 5:4$

ここで中点連結定理を使って考えます。

△ABDにおいて、AF=FD、AE=EBより、FE = 1/2 DBとなります。

同様に、△ABCにおいて、AE=EB、AG=GCより、EG = 1/2 ACとなります。

ここで、FG//CDです。よって、$\triangle FGB \sim \triangle CDB$となり、$FG:CD = FB:CB = BG:DB$が成り立ちます。

$FG:CD = 5k : (5k+4k+HC)$

ここで、相似な三角形を作ることを考えます。点FからBCに平行な直線を引き、CDとの交点をIとすると、$\triangle AFI \sim \triangle ABC$となります。

同様に、点EからADに平行な直線を引き、CDとの交点をJとすると、$\triangle BCE \sim \triangle BDA$となります。

問題より、DB//HCなので、DH=BCとなります。

同様に、四角形DECBについて考えても同じことが言えます。

ここで、FG:GH=5:4、BH=23より、FG=(5/9)*23、GH=(4/9)*23となります。

また、AF=FD, AE=EBなので、中点連結定理より、FE=1/2*DBとなります。

与えられた条件から、CD = x = 23 * 2 = 46を予想します。

3. 最終的な答え

46