与えられた式 $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$ を因数分解または簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$ を因数分解または簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、各項を展開します。

$a(b-c)^2 = a(b^2 - 2bc + c^2) = ab^2 - 2abc + ac^2$

$b(c-a)^2 = b(c^2 - 2ac + a^2) = bc^2 - 2abc + ba^2$

$c(a-b)^2 = c(a^2 - 2ab + b^2) = ca^2 - 2abc + cb^2$

これらの展開した項を元の式に代入します。

$ab^2 - 2abc + ac^2 + bc^2 - 2abc + ba^2 + ca^2 - 2abc + cb^2 + 8abc$

同類項をまとめます。

$ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 - 6abc + 8abc$

$ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

この式を整理して、$(a+b)(b+c)(c+a)$ の形に因数分解できるか検討します。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+ac+b^2+bc)(c+a) = abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + a^2b + a^2c + ab^2 + abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

したがって、

$a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$