与えられた式を計算して簡略化する問題です。式は以下の通りです。 $$ \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} - \frac{1}{x - \sqrt{x^2 + 1}} $$

1. 問題の内容

与えられた式を計算して簡略化する問題です。式は以下の通りです。

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\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} - \frac{1}{x - \sqrt{x^2 + 1}}

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2. 解き方の手順

まず、与えられた式を通分します。

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\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} - \frac{1}{x - \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{(x - \sqrt{x^2 + 1}) - (x + \sqrt{x^2 + 1})}{(x + \sqrt{x^2 + 1})(x - \sqrt{x^2 + 1})}

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分子を簡略化します。

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(x - \sqrt{x^2 + 1}) - (x + \sqrt{x^2 + 1}) = x - \sqrt{x^2 + 1} - x - \sqrt{x^2 + 1} = -2\sqrt{x^2 + 1}

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分母を簡略化します。分母は $a^2 - b^2$ の形をしていることを利用します。

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(x + \sqrt{x^2 + 1})(x - \sqrt{x^2 + 1}) = x^2 - (\sqrt{x^2 + 1})^2 = x^2 - (x^2 + 1) = x^2 - x^2 - 1 = -1

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したがって、式全体は次のようになります。

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\frac{-2\sqrt{x^2 + 1}}{-1} = 2\sqrt{x^2 + 1}

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3. 最終的な答え

最終的な答えは、

$2\sqrt{x^2 + 1}$

です。