与えられた式を計算し、簡略化する問題です。式は次の通りです。 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7}}$

1. 問題の内容

与えられた式を計算し、簡略化する問題です。式は次の通りです。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7}}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を通分します。

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})(\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7}) + (\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7})(\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7})}{(\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7})(\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7})}$

分子を展開します。

$(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7})(\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7}) = 2 - \sqrt{10} - \sqrt{14} + \sqrt{10} - 5 - \sqrt{35} + \sqrt{14} - \sqrt{35} - 7 = -10 - 2\sqrt{35}$

$(\sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{7})(\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7}) = 2 + \sqrt{10} - \sqrt{14} - \sqrt{10} - 5 + \sqrt{35} + \sqrt{14} + \sqrt{35} - 7 = -10 + 2\sqrt{35}$

したがって、分子は次のようになります。

$-10 - 2\sqrt{35} - 10 + 2\sqrt{35} = -20$

次に、分母を展開します。

$(\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{7})(\sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{7}) = 2 - \sqrt{10} - \sqrt{14} + \sqrt{10} - 5 - \sqrt{35} - \sqrt{14} + \sqrt{35} + 7 = 4 - 2\sqrt{14}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{-20}{4 - 2\sqrt{35}}$

分母と分子を-2で割ります。

$\frac{10}{\sqrt{35} - 2}$

分母を有理化します。

$\frac{10(\sqrt{35} + 2)}{(\sqrt{35} - 2)(\sqrt{35} + 2)} = \frac{10(\sqrt{35} + 2)}{35 - 4} = \frac{10(\sqrt{35} + 2)}{31}$

3. 最終的な答え

$\frac{10\sqrt{35} + 20}{31}$