放物線と直線の交点の座標を求める問題です。グラフから放物線と直線の式を推測し、連立方程式を解いて交点を求めます。

1. 問題の内容

放物線と直線の交点の座標を求める問題です。グラフから放物線と直線の式を推測し、連立方程式を解いて交点を求めます。

2. 解き方の手順

まず、グラフから放物線と直線の式を求めます。

* 放物線：頂点が原点（0, 0）で、点（1, 2）を通るので、$y = ax^2$ に (1, 2) を代入すると $2 = a(1)^2$ より $a = 2$。したがって、放物線の式は $y = 2x^2$ です。

* 直線：点(-1, 1)と点(1, 0)を通る直線であるので、傾きは $\frac{0-1}{1-(-1)} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$。切片をbとすると、$y = -\frac{1}{2}x + b$。点(1, 0)を通るので、$0 = -\frac{1}{2}(1) + b$より、$b = \frac{1}{2}$。したがって、直線の式は $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ です。

次に、連立方程式を解きます。

$\begin{cases}

y = 2x^2 \\

y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}

\end{cases}$

$y$ を消去して

$2x^2 = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

両辺に2をかけて

$4x^2 = -x + 1$

$4x^2 + x - 1 = 0$

これを解くと

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{8}$

$x = \frac{-1 + \sqrt{17}}{8}$ のとき、$y = 2x^2 = 2 (\frac{-1 + \sqrt{17}}{8})^2 = 2 (\frac{1 - 2\sqrt{17} + 17}{64}) = \frac{18 - 2\sqrt{17}}{32} = \frac{9 - \sqrt{17}}{16}$

$x = \frac{-1 - \sqrt{17}}{8}$ のとき、$y = 2x^2 = 2 (\frac{-1 - \sqrt{17}}{8})^2 = 2 (\frac{1 + 2\sqrt{17} + 17}{64}) = \frac{18 + 2\sqrt{17}}{32} = \frac{9 + \sqrt{17}}{16}$

グラフから、交点のx座標は正と負の両方がありそうなので、解は2つ存在します。

3. 最終的な答え

$(\frac{-1 + \sqrt{17}}{8}, \frac{9 - \sqrt{17}}{16}), (\frac{-1 - \sqrt{17}}{8}, \frac{9 + \sqrt{17}}{16})$