$f(x) = x^2 - (a+2)x + 3a+1$ および $g(x) = x^3 + (5-b)x^2 + (6-b)x + 2b$ という2つの整式について、以下の問いに答えます。 (1) 2次方程式 $f(x) = 0$ が虚数解を持つような $a$ の値の範囲を求めます。 (2) $g(x)$ を $b$ についての1次式とみなし、$g(x)$ を $b$ について整理し、因数分解します。3次方程式 $g(x)=0$ が虚数解を持つような $b$ の値の範囲を求めます。 (3) 虚数 $z$ が $f(z) = 0$ かつ $g(z) = 0$ を満たすとき、$a$, $b$, $z$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$f(x) = x^2 - (a+2)x + 3a+1$ および $g(x) = x^3 + (5-b)x^2 + (6-b)x + 2b$ という2つの整式について、以下の問いに答えます。

(1) 2次方程式 $f(x) = 0$ が虚数解を持つような $a$ の値の範囲を求めます。

(2) $g(x)$ を $b$ についての1次式とみなし、$g(x)$ を $b$ について整理し、因数分解します。3次方程式 $g(x)=0$ が虚数解を持つような $b$ の値の範囲を求めます。

(3) 虚数 $z$ が $f(z) = 0$ かつ $g(z) = 0$ を満たすとき、$a$, $b$, $z$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $f(x) = 0$ が虚数解を持つ条件は、判別式 $D < 0$ です。

$D = (a+2)^2 - 4(3a+1) = a^2 + 4a + 4 - 12a - 4 = a^2 - 8a$

$a^2 - 8a < 0$ より、$a(a-8) < 0$。したがって、$0 < a < 8$。

(2) $g(x) = x^3 + 5x^2 + 6x - b(x^2 + x - 2)$

$g(x) = -(x^2 + x - 2)b + (x^3 + 5x^2 + 6x)$

$g(x) = (x+2)(x-1)$を利用して因数分解する。

$x^3 + 5x^2 + 6x = x(x^2+5x+6) = x(x+2)(x+3)$

$g(x) = -(x^2 + x - 2)b + x(x+2)(x+3)$

$g(x) = -(x+2)(x-1)b + x(x+2)(x+3) = (x+2)(-b(x-1) + x(x+3)) = (x+2)(x^2 + (3-b)x + b)$

$g(x) = (x+2)(x^2 + (3-b)x + b)$

$g(x)=0$が虚数解を持つためには、$x^2+(3-b)x+b=0$が虚数解を持つ必要がある。

$D = (3-b)^2 - 4b = b^2 - 6b + 9 - 4b = b^2 - 10b + 9 = (b-1)(b-9) < 0$

$1 < b < 9$

(3) $f(z)=0$ より $z^2 - (a+2)z + 3a+1 = 0$

$g(z)=0$ より $(z+2)(z^2 + (3-b)z + b) = 0$

$z$は虚数なので、$z \neq -2$。したがって$z^2 + (3-b)z + b = 0$

$z^2 - (a+2)z + 3a+1 = 0$

$z^2 + (3-b)z + b = 0$

辺々引くと $-(a+2 - (3-b))z + 3a+1-b = 0$

$(1-a+b)z + (3a+1-b) = 0$

$z = -\frac{3a+1-b}{1-a+b}$

これを $z^2 - (a+2)z + 3a+1 = 0$ に代入して解くのは大変なので、複素数であること利用。

$z^2 + (3-b)z + b = 0$なので、$z^2 = -(3-b)z - b$

$z^2 - (a+2)z + 3a+1 = -(3-b)z - b - (a+2)z + 3a+1 = 0$

$(-5+b-a)z + 3a+1-b = 0$

$a, b$ は実数、$z$ は虚数なので $-5+b-a = 0$ かつ $3a+1-b = 0$

$b = a+5$ を $3a+1-b=0$ に代入すると $3a+1-a-5=0$ より $2a-4=0$。よって $a=2$。

$b = a+5 = 2+5 = 7$

$z^2 - (2+2)z + 3(2)+1 = z^2 - 4z + 7 = 0$

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16-28}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 2 \pm \sqrt{3}i$

3. 最終的な答え

ア：0

イ：8

ウ：2

エ：5

オ：6

カ：2

キ：3

ク：b

ケ：b

コ：1

サ：9

シ：2

ス：7

セ：2

ソ：$\sqrt{3}$